Chapter 1. Errors in Numerical Computation

Tahapan dalam ber-matematika adalah :

1. Memodelkan Problem ke dalam formulasi math
2. Menyelesaikan Model/Formula/Rumus : Solusi Analitik dan Solusi Numerik

Fresh Idea. Menghitung luas dibawah kurva y=2x+1 dari x=1 sampai dengan x=2, dengan menggunakan solusi analitik berupa integral tertentu dan dengan solusi numerik dengan memberikan nilai

ΔX = 0.01, ΔX = 0.001, ΔX = 0.0001 dst

Warna hitam adalah error yang terjadi tatkala mengambil nilai ΔX yang tidak mendekati 0, lantas berapa nilai numeriknya untuk ΔX agar warna hitam itu hilang? Ya pokoknya mendekati 0, lha berapa itu? Limit ΔX mendekati 0. Lha berapa itu? Silakan diadu komputer anda untuk nilai ΔX = 0.01, ΔX = 0.001, ΔX = 0.0001 dst…

Fresh Idea. Dan…eh gila! menurut mhs yang ikut kuliah metnum tahun ini, api itu adalah makhluk hidup !!!!! kok bisa? Bagaimana penjelasannya? Yap. Semua dimulai dari deret fourier yang bisa menggambarkan rambatan panas hingga mengetahui basis dan dimensi dari fungsi fourier. Makanya datang saja ke kuliah numerik, akan ada banyak kejutan……Buat anda yang terpakasa nggak ikut kuliah, kita share critanya begini : Semisal gelombang bunyi (seperti bunyi pesawat yang melintas) mempunyai frekwensi dasar 5000 cps (atau periode T=1/5000 = 0.0002). Pola rambatan gelombang berupa gelombang gergaji dg setiap periodenya mempunyai persamaan : p(t) = 2A/T (T/2-t) dimana A : Amplitudonya.

Kita bisa menyelidiki bagaimana gelombang tersebut dirasakan oleh telinga manusia. Ingat batas pendengar manusia adalah antara 20 cps – 20.000 cps. Berarti kalau begitu batas atas dicapai untuk nilai 4/T. Sehingga dalam deret fourier kita cukup sampai dengan k=4. dengan menghitung (compute the Fourier Coefisien a and b) nilai koefisien a(n) dan b(n) untuk n=1,2,3,4 maka akan diperoleh fungsi pendekatan (Q(t): approximation function) :

Q(t) = 2A/п [sin (2п/T + 0.5sin 4 пt/T + 0.3 sin 6пt/T + 0.25 sin 8пt/T]

Ke-4 suku sinusoida tsb mempunyai frekwensi berturut turut sebesar 5000, 10.000, 15.000, 20.000 cps. Grafik berikut memperlihatkan error atau selisih atau kemampuan telinga menangkap gelombang bunyi q(t) dengan gelombang bunyi sesungguhnya p(t) :

Fresh Idea. Dalam filsafat matematika urusan dg ΔX diatas dapat disimak dalam materi Paradox Zeno Achilles VS Tortoise lomba lari!

Dan cerita berlanjut terkait materi konversi basis dari sebuah bilangan, misal konversi 25 kedalam binair yaitu : 1101. Jadi ceritanya begini, didepan hakim 2 orang merasa saling dirugikan. Mereka hendak bertemu di sebuah tempat. Tapi antara keduanya tidak pernah saling ketemu. maka sang hakim bertanya : Kalian sudah rendez-vous ketemu dimana? kami sepakat bertemu di granda mall Solo. Maka sang hakimpun menyatakan :”itu kesalahan pertama kalian”.Kenapa? Karena kalian baru menetukan koordinat (x,y) tapi belum menentukan dilantai berapa ketemu alias di titik z nya. Dan “apakah kalian sudah sepakat jam berapa anda ketemu (alias nilai t)?” , sudah jawab mereka….Dan anda apakah anda menggunakan basis bilangan jam yang sama? Jawab mereka : “Tidak”. “Itulah kesalahan kalian kedua, karena nilai max jam adalah 24 setelah itu balik lai ke 0. Maka mereka pun diminta pergi, tdk ada hukum kepada salah satu karena kesalahan ada dikeduanya.

Aplikasi dari binair silakan anda mengakses ke hamming.

Hasil Kesepakatan Kuliah Metnum :

  1. Tugas di kirim ulang dg email ke sutanto@uns.ac.id dgn nama file : tugas_halaman.doc
  2. Chapter 1 akan diupload di blog ini dlm bentuk PDF setelah semua terkumpul paling lambat 24 september 2008 gak peduli mau mudik atau tidak yang penting tugas segera di send…
  3. Hasil tulisan anda in english terpaksa saya delete dulu karena masih sulit dibaca, sy tayangkan sekedar untuk ngecek siapa yg belum ngumpulkan tugas.

Nantikan MODUL CHAPTER 1

49 Responses to “Chapter 1. Errors in Numerical Computation

  • 1.

    Menurut Anda berapakah hasil dari 94? Berapa banyak digit 4 setelah koma pada perhitungan Anda?
    2.

    Sejauh yang Anda ketahui, berapakah nilai dari konstanta gravitasi g? Apakah Anda dengan pasrah percaya bahwa nilai dari g=98?

    Pada masalah pertama, jika banyaknya digit 4 setelah koma dipotong (chopping) hingga menjadi, katakanlah 5 atau 6 digit, hasil bagi 94 menjadi sesuatu yang kurang tepat? Kemudian pada masalah kedua, jika nilai g yang diperoleh dari percobaan-percobaan adalah: 978;982;976;981 dibulatkan (rounding) menjadi apakah hasil-hasil percobaan tersebut menjadi sesuatu yang kurang tepat pula?

    Mari kita gunakan hasil pemotongan dan pembulatan di atas untuk dioperasikan dengan suatu bilangan yang sangat besar sekali, misal 1010, maka diperoleh error turunan pertama. Hasil operasi tersebut ditarik akar kuadratnya dan menghasilkan error turunan kedua, dan demikian seterusnya jika hasil pemotongan dan pembulatan yang error tersebut terus dioperasikan.

    Lantas kapankah pemotongan dan pembulatan harus dilakukan? Jawabannya sesuai kebutuhan Anda hingga pemotongan dan pembulatan yang Anda yakini kebenarannya. Masih belum yakin? Perhatikan ilustrasi berikut. Jika Anda ditugaskan untuk membuat suatu gedung berlantai 25 dan dirancang untuk bisa tahan gempa hingga 7.5 skala Richter, apakah Anda masih menggunakan g=98 sebagai tetapan gravitasi sehingga distribusi energi akibat gempa pada masing-masing lantai sama? Bisa jadi jika Anda tetap menggunakan g=98, dengan gempa berkekuatan 6.5 skala Richter gedung Anda sudah kolaps. Jadi, untuk perhitungan tersebut dibutuhkan error dalam pemotongan atau pembulatan yang lebih sedikit lagi.

    Dari abstraksi di atas, error () merupakan harga mutlak dari selisih solusi analitis dan solusi numerik dari sebuah masalah. Dinotasikan dengan

    =L−Li

    Wah, kalau begitu lebih baik menggunakan solusi analitis saja daripada solusi numerik, daripada salah kan? Dalam beberapa kasus, solusi analitis− jika mudah dicari− sangat dianjurkan. Namun, ada pula beberapa kasus saat solusi numerik lebih diutamakan.

    Catatan: Untuk versi lengkap beserta notasi dapat dilihat di sini

  • Ananta Ade Kurniawan (M0108015)
    7 years ago

    Chapster 1

    Perambatan error selalu terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Pada kehidupan sehari-hari perambatan error dapat kita lihat pada pembulatan. Pembulatan tidak dibenarkan karena perambatan error sangat berbahaya.
    Misal;
    1 : 3 = 0,3333333333333333333333…
    Apabila kita ambil dua angka dibelakang koma maka akan kita peroleh nilai 0,33.
    Dan apabila nilai tersebut kita kalikan 3 maka;
    ⅓ x 3 = 0,33 x 3 = 0,99
    Maka hasil yang kita dapatkan tidak kembali ke awal yaitu 1 melainkan 0,99.
    Selisih nilai tersebut menunjukkan error dalam perhitungan.

    Kurva y=f(X)
    Ketika menghitung luasan dibawah kurva, perlu membagi luasan tersebut dengan irisan-irisan sehingga terdapat P &L. Panjang tidak berpengaruh karena untuk setiap X terdapat fungsi Y, selama f(x) merupakan fungsi yang kontinue. Lebar merupakan suatu masalah dalam perhitungan luasan. Lebar yang semakin panjang akan simakin memperbesar error yang terjadi. Untuk memperkecil error maka kita harus membuat lebar sependek mungkin. Lebar tersebut kita buat mendekati nol karena perkalian dengan nol tidak diperbolehkan. Sehingga diperlukan lim┬(Δx →0)⁡.
    Ananta Ade Kurniawan (M0108015)

  • Oktaviana Ayu NP (M0108059)
    7 years ago

    Pemotongan dan pembulatan sering sekali sulit dibedakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam pembulatan sering disebutkan istilah ‘Error’.
    Sebenarnya apaitu Error?????error terjadi karena ketidaksamaan antara solusi analitik dan solusi numerik.
    Misal Error Solusi numeric diperlukan karena tidak semua didunia ini dapat diselesaikan dengan solusi analitik.
    dalam menghitung luasan dalam kurva y=f(x),Error adalah standar mutlak selisih luasan sesungguhnya dengan luasan irisan dibawah kurva .sehingga terjadi perbedaan persepsi.

  • (Lanjutan tulisan sebelumnya)

    Perhatikan fungsi berikut xdx . Luas area di bawah kurva tersebut dengan batas 0 sampai 3 jika dihitung menggunakan perhitungan luas area dengan menggunakan integral adalah

    03xdx=23

    yang merupakan solusi analitik dari fungsi yang diberikan atau kira-kira sama dengan 34641016151 .

    Solusi numeriknya dapat diperoleh dengan menggunakan Aturan Simpson. Aturan Simpson merupakan metode penghampiran luas area datar dengan membagi daerah di bawah kurva hingga menjadi 2n partisi kemudian menjumlahkan luasan seluruh partisi.

    Pada pemrograman Pascal, hasil-hasil dari perhitungan untuk masing-masing n adalah

    n03xdx
    10 3.45076269220
    100 3.46367976760
    1000 3.46408827510
    10000 3.46410119320
    98000 3.46410154300
    1000000 3.46410142410
    9000000 3.46410148200

    Terlihat untuk n, hasil luas area datar dengan menggunakan Aturan Simpson konvergen ke 23 .

    Wah, kalau begitu lebih baik menggunakan solusi analitik dong supaya lebih akurat? Iya, untuk fungsi-fungsi yang gampang. Di luar, masih banyak fungsi lain, misal panjang busur elips, yang tidak dapat diperoleh solusi analitiknya melainkan hanya dengan solusi numerik saja.

    Catatan: Untuk versi tulisan lengkap beserta notasi dapat dilihat disini

  • Dimas Ari Kurniawan Perdana
    7 years ago

    Rambatan Error

    Di dalam sistem perhitungan biasa dan dengan menggunakan kalkulator atau mesin penghitung lainnya, memiliki banyak sekali perbedaan, seperti contohnya jika kita menghitung angka 5/3, maka akan mendapatkan hasil 1,66666666…dst. Masalahnya disini adalah berapa digitkah angka dibelakang koma yang harus kita ambil, jika kita menggunakan perhitungan biasa secara manual kita dapat menentukan sendiri berapa angka yang dapat kita ambil di belakang koma, misal kita memotong (chopping) angka menjadi 4 digit dibelakang koma hingga akan diperoleh 1,6666 atau dengan pembulatan (rounding) menjadi 1,6667.
    Tapi kapankah pemotongan dan pembulatan tersebut harus dilakukan?
    Dan harus berapa digit yang akan kita ambil?
    Itu tergantung keyakinan kita sendiri, contohnya pada sebuah gedung berlantai 50 mengalami kejadian gempa bumi berkekuatan 7,5 skala ritcher, apakah kita akan tetap memakai besar gravitasi (g = 9,8) yang sudah mengalami proses pembulatan dan pemotongan. Jika itu masih kita gunakan kemungkinan besar gedung tersebut akan roboh hanya dengan gempa bumi berkekuatan 6,5 skala ritcher, kerena perbedaan kekuatan di masing – masing lantai. Inilah yang disebut dengan perambatan error.
    Oleh karena itu perambatan error sangat berbahaya bila dikaitkan dengan kehidupan nyata. Karena perhitungan matematis tidak selalu benar pada kenyataannya. Pernyataan seperi ini biasa disebut Paradox Zeno.
    Paradox Zeno : sebuah teori yang tidak sesuai (tidak berkesinambungan) dengan kehidupan nyata.
    Dalam perhitungan numerik memang sering mengalami kesalahan (error) terhadap angka yang kita tentukan.
    Eror tersebut dapat timbul dari
    1. Formulasi model matematika
    Dalam pemodelan matematika biasanya dibuat beberapa pendekatan atau asumsi-asumsi
    2. Kesalahan
    Biasanya terjadi pada perhitungan secara manual, tetapi dapat juga terjadi dalam suatu program
    3. Eror pada data
    Kualitas pengukuran tidak akan exact
    4. Eror pembulatan
    Hasil dari penggunaan jumlah angka yang terbatas dalam perhitungan
    5. Eror Pemotongan
    Dihasilkan dari suatu pendekatan yang merupakan pemotongan dari suatu proses yang infinite.
    Dan dalam perhitungan numerik dapat diselesaikan dengan dua solusi :
    1. Solusi analitik
    2. solusi numerik

  • Puspita Ary
    7 years ago

    Chapter 1. Errors in Numerical Computation

    Dapat dikatakan perambatan eror, apabila dalam perhitungan terjadi pembulatan dan pemotongan yang belum tentu benar. Misalnya pada kejadian gempa kemarin. Terjadi 7,3 SR di daerah Tasikmalaya. Ambil contoh kita menggunakan gaya gravitasi itu 9,8, (yang pada umumnya sering digunakan dalam perhitungan gravitasi). Apabila kita hitung gaya gravitasi tersebut, dimasukkan dalam perhitungan, entah apa itu rumusnya, karena saya bukan ahli dalam masalah gempa, anggaplah dimasukkan dalam perkalian variabel x, maka hasil dari perhitungan itu belum tentu akurat. Dan mungkin dalam 5 koma sekian SR saja, gedung-gedung tinggi itu bisa saja runtuh.

    Perhitungan matematika belum tentu semuanya itu akurat. hal ini disebut Paradox Zeno. Artinya teori dan faktanya tidak sesuai. Contohnya lomba lari antara kura-kura dengan seorang pelari, kalau ingin tahu lebih jelasnya cerita tersebut lihat saja dalam blog-nya Pak.Tanto. Karena kalau saya ceritakan disini, terlalu panjang.
    Paradox Zeno ini bisa lebih keras lagi mengatakan : “kalau panah keluar dari busur panah, bisa dibilang panah tidak keluar dari busur panah.

    error : masalah atau perbedaan persepsi antara kita yang menghitung dengan angka yang sesungguhnya.
    contohnya, pada menghitung luasan di bawah kurva. ada 2 solusi : 1). solusi analitik >> yaitu dengan di integralkan / dapat terselesaikan. 2). solusi numerik >> biasanya sering dijumpai karena solusi kualitatif tidak terselesaikan.

  • Rizki Wahyu Pramono (M0108023)
    7 years ago

    Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak lepas dengan proses perhitungan. Di dalam proses perhitungan, terdapat perbedaan hasil perhitungan nilai antara menggunakan kalkulator atau alat penghitung lainnya. Perbedaan itu timbul karena adanya batasaan kapasitas angka dalam alat hitung yang kita gunakan. Misalkan saja dalam proses pembagian, jika kita menghitung 7/9 , maka kita akan mendapatkan hasil 0,777777777…dst. Disini pasti akan timbul permasalahan, berapa digit angka yang kita gunakan? Selain itu juga timbul pertanyaan kembali, cara apakah yang kita gunakan untuk mencari ketentuan tersebut? Apakah kita menggunakan pemotongan (chopping) ataukah menggunakan pembulatan (rounding)? Dan yang paling penting, apakah hasil tersebut signifikan?
    Mari kita gunakan hasil pemotongan dan pembulatan di atas untuk dioperasikan dengan suatu bilangan yang sangat besar sekali, misal 〖10〗^20, maka hasil tersebut bias dikatan error turunan pertama karena hasil perhitungan yang pertama sudah mengalami error. Kemudian, apabila hasil operasi tersebut dicari akarnya, maka akan menghasilkan error turunan kedua, dan jika angka yang telah mengalami error itu terus dioperasikan akan menghasilkan hasil yang error pula.
    Kemudian timbul pertanyaan kembali, kapankah pemotongan dan pembulatan harus dilakukan? Dan berapa digit angka yang harus kita pakai sebagai hasil dari perhitungan yang telah kita lakukan?
    Jawabannya sesuai kebutuhan Anda hingga pemotongan dan pembulatan dari perhitungan tersebut Anda yakini kebenarannya.
    Disini saya akan memberikan contoh permasalahan. Jika Anda ditugaskan untuk membuat suatu gedung berlantai sangan tinggi, misalkan saja 30 dan dirancang bisa tahan terhadap gempa hingga 7.5 skala richter, apakah Anda masih menggunakan g=9,8 yang telah mengalami pembulatan dan pemotongan sebagai tetapan gravitasi untuk melakukan perhitungan pada saat pembuatan gedung tersebut yang diharapkan bias taha gempa sampai 7,5 skala richter? Kalau anda tetap menggunakan g=9,8 sebagai tetapan, bias jadi dengan gempa berkekuatan 6.5 skala richter, gedung yang anda bangun tersebut bisa roboh. Contoh ilustrasi tersebut menggambarkan bagaimana berbahayanya proses perhitungan apabila kita menggunakan hasil yang telah error. Akan timbul permasalahan baru kalau kita tetap menggunakan hasil yang telah error tersebut.
    Kemudian timbul pertanyaan baru, apakah kita akan menggunakan solusi analitis atau solusi numerik untuk menentukan hasil dalam suatu permasalahan?
    Dalam beberapa permasalahan, solusi analitis memang dianjurkan untuk digunakan. Tetapi, ada beberapa permasalahan yang memang kita harus menggunakan solusi numerik untuk menentukan hasil dari permasalahan itu. Jadi itu semua tergantung kebutuhan kita masing-masing apakah kita menggunakan solusi analitis ataupun solusi numerik.

  • Nanang Pambudi (M0108097)
    7 years ago

    Tidak semua perhitungan matematika dapat diselesaikan dengan metode analitik, terkadang juga ada beberapa kasus yang harus diselesaikan menggunakan metode numerik. Dengan menggunakan metode numerik, kita dapat memperkecil kemungkinan kesalahan dalam perhitungan yang melibatkan angka-angka tak tehitung di belakang koma. Hal ini akan sangat bermanfaat ketika kita harus menyelasaikan masalah yang memerlukan ketelitian perhitungan dan jika jika terdapat kesalahan perhitungan, waloupun itu hanya beberapa angka di belakang koma, maka akan menyebabkan akibat yang fatal untuk selanjutnya.
    Sebagai contoh dalam aplikasi nyata, kita lihat saja seberapa besar gaya gravitasi bumi sebenarnya. Dalam buku sering kita lihat tertera angka 9,8 atau 10. Dalam hal ini saja kita sudah dipusingkan dengan adanya perbedaan yang cukup besar yaitu 0,2. Lalu dari mana persepsi itu diambil????. Mungkin untuk pelajaran SMP SMA, hal ini tidak akan bermasalah, tapi ketika digunakan dalam prhitungan yang menyangkut nasib bumi ini dan hajat hidup orang banyak, tidakkah berartinya angka 0,2 ini. Atau mungkin dalam hal yang sederhana sajalah, ketika kita mengalikan anhgka 9,8 dan 10 dengan angka 1000, berapa hasil yang kita dapat???? 9800 dan 10000 bukan, selisihnya saja 200, bukankah angka 200 itu sangat besar dalam sebuah perhitungan yang memerlukan ketelitian hingga mendekati 0 dalam sebuah kesalahan.
    Dalam metode numerik juga dikenal adanya istilah paradox zeno. Lebih sederhananya dilihat dalam kasus perhitungan luasan kurva. Untuk mempermudah perhitungan kita selalu menggunakan limit mendekati nol. Tapi bukankah ketika kita mengalikan angka berapapun dengan angka nol maka hasilnya juga nol. Mungkin seperti inilah yang dinamakan dengan paradoks zeno. Karena untuk mempermudah menghitung luasan kurva,limit mendekati nol l;ah yang kita gunakan.

  • Yuniar Dwi Nur Rahmasari
    7 years ago

    “Pertemuan Pertama”
    Error Pada Perhitungan Numerik
    Eror adalah sering tidak praktisnya menemukan solusi yang tepat untuk masalah matematika. Error/kesalahan suatu nilai dihitung dan digambarkan sebagai berikut:

    Eror=Nilai tepat-Nilai yang mendekati
    Apabila perkiraan terlalu besar atau terlalu kecil maka kita dapat menggunakan Relatif Error yang didefinisikan sebagai berikut:

    Eror yang terus menerus atau berkelanjutan maka akan berbahaya. Seperti pada rumus fisika yang menggunakan g (gaya grafitasi) = 9.8 m/s2. Dalam menghitung suatu benda yang kecil mungkin itu tidak masalah tetapi apabila digunakan untuk menghitung suatu gedung yang tinggi, itu tidak dapat dibenarkan karena mengandung eror yang sangat besar dan itu berbahaya. Tetapi g = 9.8 tetap digunakan untuk perhitungan dalam bentuk teori. Hal itu dapat dikatakan sebagai Paradoks Zeno. Yang dimaksud dengan Paradoks Zeno adalah teori dan faktanya tidak sama atau tidak cocok.
    Solusi numerik terjadi apabila solusi analitik tidak dapat ditemukan. Solusi numerik pada persamaan kuadrat :
    ax^2+bx+c=0
    Solusinya adalah :
    X=(-b±√(b^2-4ac))/2a
    Solusi numerik dan solusi analitik apabila didekatkan maka akan terjadi eror.

  • Yuniar Dwi Nur Rahmasari
    7 years ago

    “Pertemuan Pertama”
    Error Pada Perhitungan Numerik
    Eror adalah sering tidak praktisnya menemukan solusi yang tepat untuk masalah matematika. Error/kesalahan suatu nilai dihitung dan digambarkan sebagai berikut:

    Eror=Nilai tepat-Nilai yang mendekati
    Apabila perkiraan terlalu besar atau terlalu kecil maka kita dapat menggunakan Relatif Error yang didefinisikan sebagai berikut:
    Relatif Eror= Eror/(Nilai tepat)

    Eror yang terus menerus atau berkelanjutan maka akan berbahaya. Seperti pada rumus fisika yang menggunakan g (gaya grafitasi) = 9.8 m/s2. Dalam menghitung suatu benda yang kecil mungkin itu tidak masalah tetapi apabila digunakan untuk menghitung suatu gedung yang tinggi, itu tidak dapat dibenarkan karena mengandung eror yang sangat besar dan itu berbahaya. Tetapi g = 9.8 tetap digunakan untuk perhitungan dalam bentuk teori. Hal itu dapat dikatakan sebagai Paradoks Zeno. Yang dimaksud dengan Paradoks Zeno adalah teori dan faktanya tidak sama atau tidak cocok.
    Solusi numerik terjadi apabila solusi analitik tidak dapat ditemukan. Solusi numerik pada persamaan kuadrat :
    ax^2+bx+c=0
    Solusinya adalah :
    X=(-b±√(b^2-4ac))/2a
    Solusi numerik dan solusi analitik apabila didekatkan maka akan terjadi eror.

  • Nugroho (M0106053)
    7 years ago

    Metode numeric akan sangat membantu kita dalam menyelesaikan berbagi masalah matematika atau masalah perhitungan-perhitungan lainnya yang hasilnya selalu melibatkan bebebrapa angka di belakang koma. Hal ini bukanlah hal yang mudah, pembulatan atau pemotongan angka-angka di belakang koma haruslah tepat, karena jika terjadi kesalahan, tentunya akan merusak ketepatan perhitungan. Dan jika ini terjdi pada perhitungan yang menyangkut nasib orang banyak, maka hal ini akan berakibat fatal.
    Dalam metode numerik juga dikenal adanya istilah paradox zeno. Paradox Zeno adalah sebuah teori yang tidak sesuai (tidak berkesinambungan) dengan kehidupan nyata. Contohnya dalam kasus perhitungan luasan pada kurva. Untuk mempermudah perhitungan kita selalu menggunakan limit mendekati nol. Tapi bukankah salah ketika kita menggunakan angka nol, karena ketika kita mengalikan angka berapapun dengan angka nol maka hasilnya juga nol. Dan jika ini terjadi maka luasan kurva adalah nol. Padahal tidaklah mungkin luasan kurva hasilnya adalah nol. Mungkin seperti inilah yang dinamakan dengan paradoks zeno. Karena untuk mempermudah menghitung luasan kurva, limit mendekati nol lah yang kita gunakan.

  • ibnuhardi f i
    7 years ago

    Berbicara masalah kesalahan dalam perhitungan merupakan suatu hal wajar dalam matematika. Apa dibicarakan dalam suatu masalah kadang tidak kita mengerti, sehingga penyelesaian yang kita lakukan tidak sesuai dengan permasalahan. Akibatnya terjadi kesalahan persepsi yang berbeda sehingga memunculkan permasalahan baru. Itupun sudah biasa dibicarakan dalam perkuliahan dan anehnya sering tidak kita sadari betapa bahayanya kesalahan demi kesalahan (error) jika kita terapkan dalam kehidupan nyata.

    Dalam hal ini, error yang merupakan suatu selisih yang diakibatkan pengambilan berbeda beberapa kali sehingga menimbulkan sesuatu yang luar biasa efeknya.

    Error yang sering kita jumpai secara sederhana adalah perhitungan dalam bilangan decimal (errors in numerical computation). Contoh sederhana misalnya, nilai gaya gravitasi (g) yang sering kita anggap bernilai . Kita tahu bahwa nilai tersebut merupakan hasil pembulatan dari nilai gaya gravitasi sesungguhnya yang tidak hanya 1 digit dibelakang koma, namun banyak. Dalam situasi tertentu, sangat tepat menggunakan nilai g = dengan pertimbangan keefektifan dan keefisiensian menjadi alasan untuk membenarkan itu. Tapi dalam situasi tertentu pula, pengambilan nilai g = yang sudah mengandung error tersebut diterapkan dalam situasi dimana nilai g harus dikalikan dengan sesuatu yang besar nilainya maka error yang terjadi juga sangat besar.

    Sebagai contoh, sebuah kotak berada diatas bidang datar mempunyai gaya normal (N) sebesar N = m g, dengan cacatan g = dan sebanding dengan nilai N naka dibutuhkan gaya sebesar N untuk mengangkatnya. Andaikan kotak berjumlah sangat banyak akan diangkat dengan dasar rumus yang sama, maka error yang dihasilkan mengakibatkan perbedaan nilai N yang sangat besar pula. Bayangkan tenaga mesin yang sudah disetting sedemikian rupa, ternyata meleset jauh dari prediksi dan tak cukup kuat untuk mengangkatnya, lalu dibutuhkan tambahan mesin, dan dipengaruhi juga oleh ongkos sewa permesin. Begitu besarnya dampak yang diakibatkan oleh sebuah error yang bermula dari kesalahan numeric yang sangat kecil nilainya. Jelas hal ini menjadi perhatian serius bagi dunia nyata bidang tertentu tak terkecuali dalam perhitungan matematika.

    Sedikit menyimpulkan bahwa dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui paradok dimana teori yang ada tidak sesuai dengan praktek. Dalam matematika error computation yang sering kita jumpai adalah mengenai ketepatan pembulatan desimal dan limit. Dalam teorinya, persoalan limit dan desimal lebih bersifat teratur dan berpola tertentu sehingga penyelesaian bias dilakukan dengan solusi analitik seperti metode integral misalnya.
    Tapi dalam dunia nyata banyak permasalahan yang tidak bisa dikemas secara teratur dan berpola seperti limit sehingga solusi analitik tidak akan bisa diterapkan, kaena itu solusi numeric yang akan menyelesaikannya. Ada banyak keunggulan dalam solusi numeric sehingga bisa menghasilkan penyelesaian yang lebih baik.

    Dasar itulah yang mendorong kitauntuk mempelajari tentang netode numerik, dalam bab ini kita lebih berpusat dalam hal errors in numerical computation.

  • ibnuhardi f i
    7 years ago

    Berbicara masalah kesalahan dalam perhitungan merupakan suatu hal wajar dalam matematika. Apa dibicarakan dalam suatu masalah kadang tidak kita mengerti, sehingga penyelesaian yang kita lakukan tidak sesuai dengan permasalahan. Akibatnya terjadi kesalahan persepsi yang berbeda sehingga memunculkan permasalahan baru. Itupun sudah biasa dibicarakan dalam perkuliahan dan anehnya sering tidak kita sadari betapa bahayanya kesalahan demi kesalahan (error) jika kita terapkan dalam kehidupan nyata.

    Dalam hal ini, error yang merupakan suatu selisih yang diakibatkan pengambilan berbeda beberapa kali sehingga menimbulkan sesuatu yang luar biasa efeknya.

    Error yang sering kita jumpai secara sederhana adalah perhitungan dalam bilangan decimal (errors in numerical computation). Contoh sederhana misalnya, nilai gaya gravitasi (g) yang sering kita anggap bernilai 9,8. Kita tahu bahwa nilai tersebut merupakan hasil pembulatan dari nilai gaya gravitasi sesungguhnya yang tidak hanya 1 digit dibelakang koma, namun banyak. Dalam situasi tertentu, sangat tepat menggunakan nilai g =9,8dengan pertimbangan keefektifan dan keefisiensian menjadi alasan untuk membenarkan itu. Tapi dalam situasi tertentu pula, pengambilan nilai g =9,8yang sudah mengandung error tersebut diterapkan dalam situasi dimana nilai g harus dikalikan dengan sesuatu yang besar nilainya maka error yang terjadi juga sangat besar.

    Sebagai contoh, sebuah kotak berada diatas bidang datar mempunyai gaya normal (N) sebesar N = mxg, dengan cacatan g = 9,8dan sebanding dengan nilai N naka dibutuhkan gaya sebesar N untuk mengangkatnya. Andaikan kotak berjumlah sangat banyak akan diangkat dengan dasar rumus yang sama, maka error yang dihasilkan mengakibatkan perbedaan nilai N yang sangat besar pula. Bayangkan tenaga mesin yang sudah disetting sedemikian rupa, ternyata meleset jauh dari prediksi dan tak cukup kuat untuk mengangkatnya, lalu dibutuhkan tambahan mesin, dan dipengaruhi juga oleh ongkos sewa permesin. Begitu besarnya dampak yang diakibatkan oleh sebuah error yang bermula dari kesalahan numeric yang sangat kecil nilainya. Jelas hal ini menjadi perhatian serius bagi dunia nyata bidang tertentu tak terkecuali dalam perhitungan matematika.

    Sedikit ringkasan dari uraian diatas bahwa dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui paradok dimana teori yang ada tidak sesuai dengan praktek. Dalam matematika error computation yang sering kita jumpai adalah mengenai ketepatan pembulatan desimal dan limit. Dalam teorinya, persoalan limit dan desimal lebih bersifat teratur dan berpola tertentu sehingga penyelesaian bias dilakukan dengan solusi analitik seperti metode integral misalnya.
    Tapi dalam dunia nyata banyak permasalahan yang tidak bisa dikemas secara teratur dan berpola seperti limit sehingga solusi analitik tidak akan bisa diterapkan, kaena itu solusi numeric yang akan menyelesaikannya. Ada banyak keunggulan dalam solusi numeric sehingga bisa menghasilkan penyelesaian yang lebih baik.

    Dasar itulah yang mendorong kitauntuk mempelajari tentang netode numerik, dalam bab ini kita lebih berpusat dalam hal errors in numerical computation.

  • Deny Dwi Utami
    7 years ago

    Seringkali kali kita menjumpai permasalahan matematis yang sulit untuk mencari penyelesaian secara eksak. Sebagai contoh jika menghitung nilai 3/7 dengan menggunakan kalkulator maka hasilnya 0,428571428. …………
    kita mendapatkan hasil yang berupa pendekatan dan tidak bisa mendapatkan hasil secara eksak. Sesuai namanya”pendekatan” maka penyelesaiannya adalah tidak sama (mendekati) dengan eksak. Sehingga dalam ini terdapat nilai selisih antara penyelesaian eksak dengan pendekatan. Nilai selisih ini disebut error dalam perhitungan numeric.

  • Tri Septiyani (M0108109)
    7 years ago

    Munculnya error dalam perhitungan numeric disebabkan karena keterbatasan mesin atau manusia dalam menyajikan digit data secara mnyeluruh. Contohnya operasi 2/3. kita tahu bahwa hasilnya adalah 0,666666666666……………
    Terkadang kita hanya menyajikannya dalam bentuk 0,666 saja,sehingga diperoleh error. Selain itu, hal yang sama juga terdapat pada mesin (dalam hal ini adalah mesin hitung). Komputer atau kalkulator memiliki keterbatasan dalam menyimpan hasil operasi bilangan yaitu hanya bisa menyimpan digit bilangan yang jumlahnya terbatas (biasanya komputer hanya bisa menyimpan 16 digit desimal saja dan dapat ditambah melalui prosedur tertentu).
    Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan-persoalan perhitungan dan analisis, ada beberapa keadaan dan metode yang digunakan untuk menghasilkan penyelesaian yang baik adalah :
    (1) (metode analitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.
    (2) Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorema analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.
    (3) Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

  • Anggita Linggar Pratami(M0108029)
    7 years ago

    Resume Chapter 1
    EROR PERHITUNGAN NUMERIK

    Dalam perhitungan, pasti akan mengandung nilai eror. Nilai-nilai eror tersebut akan berkelanjutan hingga akhir perhitungan jika perhitungan tersebut mengandung beberapa operasi hitung. Mengapa demikian? Kita ambil contoh pada perhitungan (2/3)*(2/7) yang dihitung menggunakan kalkulator. Pada perhitungan 2/3 akan menghasilkan angka 0.66666…. Karena jumlah digit yang tak hingga pasti kita akan melakukan pemotongan atau pembulatan digit menjadi 0.667. Begitu pula pada perhitungan berikutnya 2/7 menghasilkan angka 0.28571….jika dilakukan pembulatan menjadi 0.286. Setelah itu hasil keduanya dikalikan, hasilnya 0.190762. Karena digit dirasakan terlalu banyak maka dilakukan pembulatan untuk kali ketiga sehingga diperoleh hasil akhir 0.191. Hasil akhir yang kita peroleh tersebut mengandung nilai eror. Nilai eror itu muncul ketika kita melakukan pembulatan-pembulatan yang dapat menimbulkan perbedaan dengan hasil sebenarnya. Perbedaan hasil yang sudah mengalami pembulatan atau pemotongan dengan niai mutlak sebenarnya ituah yang dinamakan nilai eror. Oleh karena itu, kita harus membuat nilai eror ini sekecil mungkin agar hasil perhitungan tidak terlalu jauh dengan nilai mutlak sebenarnya. Lalu berapakah nilai sekecil mungkin itu? Tentunya kita masih ingat ketika menghitung luasan di bawah kurva dalam kalkulus 2. Luasan di bawah kurva tersebut akan dibagi menjadi beberapa lajur berupa persegi panjang dengan alas ∆x dan fungsi dalam kurva tersebut sebagai tinggi. Misal fungsi tersebut f(ti) dengan i = 1, 2, 3, …., n. merupakan jumlah luasan n persegi panjang pendekatan. Untuk n→ atau maka luas daerah di bawah kurva tersebut adalah . Jadi, dari sini diperoleh nilai pendekatan yang sangat kecil .
    Bagaimana jika perhitungan tersebut tidak dapat terselesaikan secara integral analitik? Dalam matematika, terdapat dua penyelesaian perhitungan yaitu solusi analitik (integral analitik) dan solusi numerik. Solusi numerik inilah yang digunakan jika perhitungan tidak dapat terselesaikan menggunakan solusi analitik. Dalam teknologi, solusi numerik menggunakan sofware Mathematica. Mathematica dapat membantu dalam perhitungan numerik dan grafik yang diperlukan untuk mendapatkan hasil akhirnya.

    -Anggita Linggar Pratami-
    M0108029

  • Ernita Dwi Hastuti (M0106040)
    7 years ago

    bilangan 0,3 bila berdiri sendiri bukanlah suatu masalah. namun bila bilangan 0,3333 dilakukan operasi perkalian (x) atau pembagian ( : ) maka akan sangat berpengaruh karena bilangan tersebut telah mengandung error. eror dalam akan sangat berbahaya bila diterapkan dalam dunia nyata, dalam ilmu fisika misalnya kita tancapkan paku mendatar kemudian kita lepaskan maka akan terjadi getaran. sama halnya ketika gedung bertingkat terkena gempa. maka pemotonga dan pembulatan dalam bidang numerik akan sangat berpengaruh.

  • Anggita Linggar Pratami(M0108029)
    7 years ago

    Resume Chapter 1
    EROR PERHITUNGAN NUMERIK

    Dalam perhitungan, pasti akan mengandung nilai eror. Nilai-nilai eror tersebut akan berkelanjutan hingga akhir perhitungan jika perhitungan tersebut mengandung beberapa operasi hitung. Mengapa demikian? Kita ambil contoh pada perhitungan (2/3)*(2/7) yang dihitung menggunakan kalkulator. Pada perhitungan 2/3 akan menghasilkan angka 0.66666…. Karena jumlah digit yang tak hingga pasti kita akan melakukan pemotongan atau pembulatan digit menjadi 0.667. Begitu pula pada perhitungan berikutnya 2/7 menghasilkan angka 0.28571….jika dilakukan pembulatan menjadi 0.286. Setelah itu hasil keduanya dikalikan, hasilnya 0.190762. Karena digit dirasakan terlalu banyak maka dilakukan pembulatan untuk kali ketiga sehingga diperoleh hasil akhir 0.191. Hasil akhir yang kita peroleh tersebut mengandung nilai eror. Nilai eror itu muncul ketika kita melakukan pembulatan-pembulatan yang dapat menimbulkan perbedaan dengan hasil sebenarnya. Perbedaan hasil yang sudah mengalami pembulatan atau pemotongan dengan niai mutlak sebenarnya ituah yang dinamakan nilai eror. Oleh karena itu, kita harus membuat nilai eror ini sekecil mungkin agar hasil perhitungan tidak terlalu jauh dengan nilai mutlak sebenarnya. Lalu berapakah nilai sekecil mungkin itu? Tentunya kita masih ingat ketika menghitung luasan di bawah kurva dalam kalkulus 2. Luasan di bawah kurva tersebut akan dibagi menjadi beberapa lajur berupa persegi panjang dengan alas ∆x dan fungsi dalam kurva tersebut sebagai tinggi. Misal fungsi tersebut f(ti) dengan i = 1, 2, 3, …., n. Sigma i=1 sampai n f(ti)delta x merupakan jumlah luasan n persegi panjang pendekatan. Untuk n mendekati tak hingga atau delta x mendekati nol maka luas daerah di bawah kurva tersebut adalah limit delta x mendekati nol dari sigma i=1 sampai n f(ti)delta x . Jadi, dari sini diperoleh nilai pendekatan yang sangat kecil adalah limit delta x mendekati nol.
    Bagaimana jika perhitungan tersebut tidak dapat terselesaikan secara integral analitik? Dalam matematika, terdapat dua penyelesaian perhitungan yaitu solusi analitik (integral analitik) dan solusi numerik. Solusi numerik inilah yang digunakan jika perhitungan tidak dapat terselesaikan menggunakan solusi analitik. Dalam teknologi, solusi numerik menggunakan sofware Mathematica. Mathematica dapat membantu dalam perhitungan numerik dan grafik yang diperlukan untuk mendapatkan hasil akhirnya.

    -Anggita Linggar Pratami-
    M0108029

  • Nanda Putri Monalisa
    7 years ago

    ERROR sampai Paradox Zeno
    Istilah yang sering kita dengar,secara gambaran umum istilah ini identik dengan sesuatu yang melenceng.
    Nah,error di sini berhubungan dengan perhitungan matematis.
    Ex:
    1) Kalau manusia dengan kertas pensil=> 1/3×3=1
    Tapi kalau mesin =>1/3×3= 0,33333 . . . . x3=0,99999 . . . .
    Nah,masalahnya di sini bahwa angka-angka seperti 0,99999 . . . merupakan deret yang tak berhingga sehingga penjulahannya tidak pernah selesai. Oleh karena itu kita membutuhkan proses pemotongan dan pembulatan. Tapi dimana kita harus membulatkan atau memotong angka-angka tersebut dan kapan kita harus melakukannya ?????

    Sekarang, kita coba ambil ¶ = 22/7=3,142857143 yang akan di bulatkan menjadi 3,143 atau mengalami pemotongan menjadi 3,14

    ¶ = 3,142857143
    Kell lingkaran=2¶r
    =2×3,142857143×4
    =25.14285714 Dimisalkan A=25.14285714

    ¶ = 3,143
    Kell lingkaran=2¶r
    =2×3,143×4
    =25.144 Di misalkan B=25,144
    ¶ = 3,14
    Kell lingkaran=2¶r
    =2×3,14×4
    =25,12 Dimisalkan C=25,12
    Hasil kolom kedua dan kolom ketiga yang jelas memiliki selisih akibat dari pemotongan dan pembulatan sebelumnya.
    Lalu bagaimana jika hasil dari kolom kedua dan kolom ketiga jika di hitung dalam perhitungan yang berikutnya=>

    Ax10x9=25.14285714x10x9=2262,857143——->hasil yang seharusnya

    Bx10x9=25,144*10*9=2262,96
    Cx10x9=25,12x10x9=2260.8

    Ternyata selisihnya pun semakin besar dari hasil yang seharusnya ,inilah sebagian dari perambatan error. Jadi jika kita semakin banyak dalam melakukan pembulatan dan pemotongan maka semakin besar pula error numeric yang kita dapatkan.
    Maka dari itu kita di kenalkan pada Metode Analitik dan Metode Numerik
    Metode analitik adalah suatu teknik yang memberikan solusi yang sebenarnya yang memiliki error sama dengan nol
    Metode Numerik adalah Tenilk yang memberikan solusi pendekatan. Solusi pendekatan tidak tepat sama dengan solusi sesungguhnya ,sehingga ada selisih yang biasa di sebut error. Biasanya saat fungsi tidak dapat di integralkan.
    Selanjutnya,
    Sejak SMP kita telah berapa nilai gaya gravitasi bumi,yaitu (g = 9,8 yang sudah mengalami proses pembulatan dan pemotongan ).Berarti sudah mengandung error.
    Nah,sekarang kita masuk dalam permasalahan di kehidupan nyata . . . .
    Sebuah gedung yang terdiri dari 52 lantai mampu bertahan setelah mengalami gempa bumi berkekuatan 7,5 skala ritcher, jika kita (mialnya sebagai ahli forensic)tetap menggunakan g=9,8 maka yang terjadi adalah gedung itu akan roboh hanya dengan gempa bumi berkekuatan 6,5 skala ritcher. Ternyata perhitungan matematik tidak sesuai dengan faktanya.
    Di sinilah kita temukan istilah baru yaitu Paradox Zeno
    Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal.
    Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura udah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura dikasih keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari ngga akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).
    Pada awalnya memang sulit memahami apa itu paradox Zeno,namun saat mencari referensi saya menemukan penjelasan bahwa saya tidak akan pernah paham (itulah paradoks zeno) karena sebelum saya paham 100% saya harus paham 50% dulu, tapi sebelum saya paham 50% ,sayaharus paham 25% dulu dst(semakin kecil tak berhingga).
    Meskipun Paradox Zeno sulit untuk di pahami dan di jelaskan namun dia menarik untuk di pelajari lebih dalam lagi.

  • Silvia Bauty H. (M0106064)
    7 years ago

    Dalam bab 1 mata kuliah Metode Numerik ini dibahas mengenai Eror dalam perhitungan numerik. Yang dimaksud eror disini adalah selisih antara nilai eksak ( perhitungan menggunakan mesin ) dengan nilai pendekatan. Contohnya seperti dalam perhitungan 1/3 akan memberikan hasil 0.333333333333….. Hasil ini jika dikalikan dengan bilangan 3 akan menjadi 0.999999999……… Yang tidak akan kembali ke bilangan 1. Namun jika antara bilangan 1/3 * 3 hasilnya adalah 1. Selisih inilah yang dinamakan eror. Akan terjadi permasalahan yang sangat besar jika hasil 1/3 dikalikan oleh bilangan dengan digit yang besar. Akan menimbulkan eror yang lebih besar. Hal ini menimbulkan perambatan eror.

    Contoh lainnya dalam perhitungan menggunakan nilai gravitasi bumi. Kita tahu bahwa nilai gravitasi yang sering digunakan adalah sebesar 9.8. Nilai ini tidak datang dengan serta merta. Nilai ini telah mengalami pembulatan ataupun pemotongan. Untuk mengetahui perbedaan antara pembulatan dan pemotongan, akan digunakan contoh perhitungan 2/3 yang memberikan hasil 0.666666666666…. Jika ingin dilakukn pembulatan dengan 6 digit signifikan, maka hasil yang diperoleh adalah 0.666667. Sedangkan jika ingin dilakukan pemotongan dengan 6 digit signifikan, maka diperoleh hasil 0.666666. Masalahnya sekarang, kapan kita gunakan pemotongan dan kapan digunakan pembulatan. Trus, berapa jumlah digit signifikan yang akan dipakai?

    Dalam perhitungan numerik terdapat dua solusi, yaitu solusi analitik dan solusi numerik.

  • Sri Maria Puji Lestari
    7 years ago

    Chapter 1. ERRORS IN NUMERICAL COMPUTATION
    Tak terasa saya sudah semester III dan Metode Numerik adalah salah satu jatah mata kuliah wajib yang diambil. Banyak tanda tanya dalam pikiran saya pada awal dari perkuliahan mata kuliah Metode Numerik ini. Sebenarnya apa sich yang dipelajari dari mata kuliah yang mempelajari angka?. Surprice…ternyata kegiatan perkuliahan yang menyenangkan.
    Kesempatan pertama ini saya masuk ke kelas A yang dibimbing Bapak Dr. Sutanto, DEA dan ruang kuliah yang “Woow…” yang bisa membuat iri teman- teman yang sementara ini mendapat kelas B. Yupz…SAT Komputer milik jurusan matematika menjadi ruang kuliah kelas A mata kuliah Metode Numerik.
    Pak dosen langsung memberikan contoh aplikasi- aplikasi nyata dalam perkuliahan pertama ini, seperti memperkirakan dan menganalisis sebuah gedung bertingkat apakah masih layak pakai setelah mengalami gempa bumi, dan contoh lain seperti dalam mata kuliah Kalkulus yang mencari nilai luasan di bawah kurva.
    Sering sekali eksperimen perhitungan menghasilkan hasil angka yang bervariasi tergantung dari kecanggihan dan keakuratan alat hitung yang membantu kita. Errors numerik merupakan adanya perbedaan persepsi antara saya yang menghitung secara manual dengan perhitungan menggunakan komputer atau kalkulator yang terjadi akibat pembulatan atau pemotongan angka yang sebenarnya tak terbatas.
    Ketika berbicara tentang errors, kita mengambil sampel mencari nilai luasan di bawah kurva dengan penyelesaian 2 solusi, yaitu solusi analitik dan solusi numerik. Solusi analitik menyelesaikannya langsung dihitung saja dengan mengintegralkan. Sedangkan solusi numerik digunakan karena solusi analitik tidak dapat terselesaikan, hanya saja solusi numerik ini menimbulkan masalah dimunculnya angka- angka yang kurang pas. Konsep analisa regresi untuk mencari nilai fungsi dan fungsi dari konsep numerik untuk mengecilkan nilai error.
    Mencari nilai luasan di bawah kurva dengan ∆_x limit 0 dimana nilai ∆_x bukan 0 tetapi nilainya benar- benar mendekati 0. Eksperimen numerik memberikan nilai ∆_x=0,001 tetapi masih ada yang menyangkal ada nilai yang lebih kecil dari itu yaitu ∆_x=0,0001; ∆_x=0,00001; dst. Tidak ada yang bisa menjawab dengan pasti berapa nilai terkecil untuk ∆_x. Dengan bijak orang matematika menjawab ∆_x bernilai Limit 0. Nilai ∆_x yang semakin kecil dan makin kecil maka hasilnya adalah konvergen yang menuju nilai luasan yang sesungguhnya.

  • Indriya Rukmana Sari (M0108091)
    7 years ago

    Eror in Numerical Computation

    Pemotongan atau pembulatan angka tidak diperbolehkan. Karena bisa memberikan hasil yang berbeda dengan yang sebenarnya.
    Kurva y=f(x)
    Untuk menghitung luasan kurva yaitu dengan membagi luasan dengan irisan-irisan sehingga terdapat panjang dan lebar. Pengertian eror dalam kasus diatas tadi adalah nilai mutlak dari selisih luasan yang sesungguhnya dengan luasan yang sangat kecil yang kita hitung sehingga terjadi perbedaan persepsi.
    Paradoks Zeno : Ketidaksesuaian antara teori dengan faktanya.
    Eror terjadi jika solusi analitik dan solusi numerik didekatkan tidak bisa nol (mendekati nol).
    Persamaan mudah diintegralkan solusi analitik

  • Herman Setyawan (M0106074)
    7 years ago

    Kesalahan Numerik (eror dalam perhitungan numerik) disebabkan karena adanya aproksimasi atau pendekatan. Misalnya suatu perhitungan angka 1/3 akan memberikan hasil 0.33333333…. akan menimbulkan eror. Mungkin eror yang ditimbulkan kecil, akan tetapi jika hasil tersebut dikalikan dengan bilangan lain yang mempunyai digit besar, maka akan menimbulkan eror yang besar pula. Lama – kelamaan akan terjadi suatu rambatan eror.

    Rambatan eror bisa terjadi karena pemotongan atau pembulatan. Hal ini juga dipengaruhi oleh banyaknya digit signifikan yang dipakai.

    Dalam perhitungan numerik, dapat diselesaikan dengan dua solusi yaitu solusi analitik dan solusi numerik. Dalam solusi ananlitik. Biasanya langsung digunakan pengintegralan. Jika permasalahan tidak bisa diselesaikan dengan solusi analitik, maka diselesaikan dengan solusi numerik.

  • Drajat Indra Purnama
    7 years ago

    TUGAS I
    DRAJAT INDRA PURNAMA (M0106038)

    Angka Signifikan.
    Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan kita. Beberapa angka 0 tak selamanya angka signifikan, karena mereka diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Jadi bilangan-bilangan 0,00001845 lalu 0,0001845 lalu0,001845 semuanya memiliki 4 angka signifikan.
    Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah dimana 4,53 104 atau 4,530 104 dan 4,5300 104 menandakan bahwa angka-angka tersebut memiliki 3, 4, dan 5 angka signifikan.
    Implikasi dari angka signifikan:
    MetNum mengandung hasil pendekatan. Keyakinannya ditentukan oleh angka signifikan. Pernyataan secara eksak besaran-besaran yang signifikan seperti , dibatasi oleh tipe data yang dapat disimpan oleh komputer sampai sejumlah digit tertentu, selebihnya diabaikan. Pengabaian ini dinamakan dengan kesalahan pembulatan (round-off error).
    Definisi Error (Kesalahan).

    Timbul dari penggunaan aproksimasi. Meliputi 2 hal, yaitu:
    1. Kesalahan pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
    2. Kesalahan pembulatan (round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

    Harga sebenarnya = aproksimasi + error
    Et = harga sebenarnya – aproksimasi
    Dimana Et = harga pasti error, dengan t berarti true.
    Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya:

    Kesalahan relatif fraksional = Kesalahan/harga sebenarnya
    Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4
    menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang
    ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

    Perambatan Kesalahan (Error Propagation)
    Sebagaimana disebutkan sebelumnya bahwa setiap hasil pengukuran memiliki ketidakpastian (error) sendiri-sendiri. Jika terdapat beberapa hasil pengukuran, dan dilakukan operasi matematika terhadapnya, maka ketidakpastian atau error tersebut akan mengalami perambatan. Disini kesalahan pengukuran akan teruuuusss terakumulasi. Let’s make it simple! Misal, hasil pengukuran terhadap panjang sebuah kotak (X) adalah 25,34 ± 0,03 cm, hasil pengukuran terhadap lebar kotak (Y) = 13,52 ± 0,03 cm, dan hasil pengukuran terhadap tinggi kotak (Z) = 5,74 ± 0,01 cm. Selanjutnya apabila kita diminta untuk menghitung volume kotak tersebut, maka hitungan matematisnya adalah XYZ = (25,34 ± 0,03)( 13,52 ± 0,03)( 5,74 ± 0,01) cm. Pada hasil akhir operasi matematika tersebut akan terjadi akumulasi error atau kesalahan (katakanlah d). d ini merupakan angka toleransi yang merupakan hasil penghitungan akhir total error. Akumulasi error hasil operasi matematika (d) inilah yang disebut error propagation atau parambatan kesalahan.

    Paradoks Zeno
    Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.
    1. Dikhotomi
    Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.
    2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura
    Achilles – kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.
    Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.
    3. Anak panah
    Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.
    4. Stadion
    Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.

  • Hayu Susilowati
    7 years ago

    TUGAS RESUME
    HAYU SUSILOWATI / M0106041

    Angka Signifikan.
    Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan kita. Beberapa angka 0 tak selamanya angka signifikan, karena mereka diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Jadi bilangan-bilangan 0,00001845 lalu 0,0001845 lalu0,001845 semuanya memiliki 4 angka signifikan.
    Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah dimana 4,53 104 atau 4,530 104 dan 4,5300 104 menandakan bahwa angka-angka tersebut memiliki 3, 4, dan 5 angka signifikan.
    Implikasi dari angka signifikan:
    MetNum mengandung hasil pendekatan. Keyakinannya ditentukan oleh angka signifikan. Pernyataan secara eksak besaran-besaran yang signifikan seperti , dibatasi oleh tipe data yang dapat disimpan oleh komputer sampai sejumlah digit tertentu, selebihnya diabaikan. Pengabaian ini dinamakan dengan kesalahan pembulatan (round-off error).

    Definisi Error (Kesalahan).

    Timbul dari penggunaan aproksimasi. Meliputi 2 hal, yaitu:
    1. Kesalahan pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
    2. Kesalahan pembulatan (round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

    Harga sebenarnya = aproksimasi + error
    Et = harga sebenarnya – aproksimasi
    Dimana Et = harga pasti error, dengan t berarti true.
    Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya:

    Kesalahan relatif fraksional = Kesalahan/harga sebenarnya
    Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4
    menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang
    ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

    Paradoks Zeno
    Merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan ga terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :
    Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut.
    Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura udah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura dikasih keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari ngga akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).
    Perambatan Kesalahan (Error Propagation)
    Sebagaimana disebutkan sebelumnya bahwa setiap hasil pengukuran memiliki ketidakpastian (error) sendiri-sendiri. Jika terdapat beberapa hasil pengukuran, dan dilakukan operasi matematika terhadapnya, maka ketidakpastian atau error tersebut akan mengalami perambatan. Disini kesalahan pengukuran akan teruuuusss terakumulasi. Let’s make it simple! Misal, hasil pengukuran terhadap panjang sebuah kotak (X) adalah 25,34 ± 0,03 cm, hasil pengukuran terhadap lebar kotak (Y) = 13,52 ± 0,03 cm, dan hasil pengukuran terhadap tinggi kotak (Z) = 5,74 ± 0,01 cm. Selanjutnya apabila kita diminta untuk menghitung volume kotak tersebut, maka hitungan matematisnya adalah XYZ = (25,34 ± 0,03)( 13,52 ± 0,03)( 5,74 ± 0,01) cm. Pada hasil akhir operasi matematika tersebut akan terjadi akumulasi error atau kesalahan (katakanlah d). d ini merupakan angka toleransi yang merupakan hasil penghitungan akhir total error. Akumulasi error hasil operasi matematika (d) inilah yang disebut error propagation atau parambatan kesalahan.

  • nurmalitasari
    7 years ago

    -Errors in Numerical Computation-
    * Kerumitan atau problematika dalam penghitungan angka.
    Dalam penghitungan suatu nilai angka tidak selamanya akanmulus maksudnya disini adalah hasil penghitungan itu terkadang mengandung error. semakin besar nilai eror maka nilai hasil penghitungan tersebut semakin tidak signifikan.exempel: hasil pembagian 1:3 adalah 0.333333333333333333……. ini sudah mengandung eror. biasanya jika hasil pembagian itu selalu berbeda-beda.dalam output computer atau calculator biasanya berbeda-beda ada yang menggunakan pemotongan dan ada juga yang menggunakan pembulatan. tergantung vasilitas yang dipunyai calculator atau computer tersebut. Hasil dari output komputer saja juga berbeda-beda. misalkan antara komputer yang mempunyai fasilitas AMD dengan intel. dalam analisis jika hasil yang pertama saja sudah mengadung eror maka jika hasil tersebut di terapkan dalam permasalahan real maka akan lebih mengandung banyak error lagi. Eror=[l sesungguhnya – l ij].
    dalam menyelesaikan suatu masalah itu ada 2 cara yaitu analitik dan numerik, pnyelesaian menggunakan numerik jika fungsi-fungsi tersebut tidak bisa dibentuk atau diintegralkan.
    Paradox zero adalah asumsi yang bergerak dari suatu yang salah atau mustahil tetapi pada akhirnya diyakini kebenaranya.atau dengan istilah lain teori dengan faktanya itu tidak match.

  • nurmalitasari
    7 years ago

    nurmalitasari (m0106054)

  • dyan heppy p
    7 years ago

    METODE NUMERIK
     T. Numerik à Solusi analitis yg pasti
     T. Numerik à Melibatkan aproksimasi?
     T. Numerik à Ada kesalahan/tdk cocok
     Kesalahan à karena aproksimasi
    Pertanyaan:
    “Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir?
    Setiap Manusia à ↓ Kesalahan
    Kesalahan à ↑ ↑ Biaya
    à ↑ ↑ Korban, dll
    Kesempurnaan à tujuan yang terpuji
    Masalah? (sangat jarang terjadi)
    Contoh Kasus:
    Aproksimasi “best” à Hk. Newtons II
    Kecepatan benda jatuh = v2g.h
    BAGAIMANA KALAU ADA
    Angin? à Perubahan tekanan Udara? à Dimensi Benda?

    Deviasi (Penyimpangan)

     Komputasi thd suatu bilangan à Bilangan hrs meyakinkan ?
     Konsep angka signifikan à keandalan sebuah nilai numerik
     Banyak angka signifikan à banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan
     Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran
     Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why?
     Ketidakpastianà kepastian, jk pakai notasi ilmiah
    How?
    0,000123 à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
    0,00123 à mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
    12.300 à Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu
    berarti atau tidak…!
    1,23 x 104 à mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)
    1,230 x 104 à mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)
    1,2300 x 104 à mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

    Dua arti penting angka signifikan
    “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik”
    “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” à (kesalahan pembulatan/round-off-error

  • ari cahyani
    7 years ago

    Definisi Kesalahan
     Kesalahan Numerik à Adanya aproksimasi
    Meliputi:
     Kesalahan pemotongan (truncation error) à saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
     Kesalahan pembulatan (round-off error) à ketika angka2 aproksimasi dipakai utk menyatakan angka-angka pasti.
    Sehingga, bisa dihubungkan:
    Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan
     Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi”
    Et = Harga sebenarnya – aproksimasi;
    Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya” à Tapi, Definisi yang lemah..!Why..???
    Kelemahan definisi?
     Tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, mis: kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang paku dari pada pengukuran panjang jembatan
    Menutupi kelemahan di atas, How??
     Menormalisasi kesalahan itu thd harga sebenarnya à Kesalahan Relatif Fraksional(KRF)
     KRF = Kesalahan / Harga sebenarnya
     KRF dapat pula dikalikan dengan 100% didefinisikan sebagai εt, sbb:
    εt = (Kesalahan /Harga Sebenarnya) x 100% ;
    Dimana: εt = kesalahan
     Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:
    εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%
    Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan
    thd sebuah harga aproksimasi.
    Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num à
    “menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”
     Metode numerik tertentu memakai pendekatan interasi utk menghitung jawaban.
     Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdsrkan suatu aproksimasi sblmnya à dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.
     Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg pbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukan:
    εa = (aprok. skrg – aprok. sblmnya)/(pendekatan skrg) x 100%
    εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasinya (εs)
    │εa│ < εs
    Kesalahan Pembulatan
     Berasal dari kenyataan bhw komputer hy menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi
    Misalnya:
     Bila ia menyimpan 7 angka signifikan maka ¶ sebagai ¶ = 3,141592, dgn mengabaikan suku2 yg dikalikan dlm kesalahan pembulatan:
    Et = 0,00000065 … (lht rumus pd slide No.8)
     Kelemahan pembulatan di atas à ia mengabaikan suku-suku sisa dalam menyatakan desimal lengkap.
     Jika dibulatkan ¶ = 3,141593 karena angka ke-8 adalah 6, maka kesalahan pembulatan berkurang menjadi:
    Et = 0,00000035 …
     Untuk membulatkan bilangan sesuai dengan aturan pembulatan dari syarat di atas à Menambah biaya komputasi & akibatnya beberapa mesin memakai chopping (mengambil suku2 sisa dalam menyatakan desimal lengkap) sederhana.
    Pendekatan ini bs diterima dengan asumsi bhw jumlah angka signifikan pd kebanyakan komputer cukup besar, hingga kesalahan pembulatan berdasarkan permotongan biasanya diabaikan.
    Kesalahan Pemotongan
     Adalah kesalahan yg dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan dimskan ke dlm solusi numerik karena kesamaan diferensial hanya melakukan aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian thd perilaku kesalhan semacam ini, sekarang kita kembalipada suatu rumus matematika yg secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi2 dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylor
    Kesalahan Numerik Total
     Kekeliruan
     Kesalahan Formulasi
     Ketidakpastian Data

  • Lisa Apriana.D (M0108055)
    7 years ago

    PENGERTIAN EROR

    Eror adalah salah satu masalah yang muncul dalam proses perhitungan. Mengapa dapat muncul eror? Eror muncul jika dalam suatu perhitungan terjadi proses pemotongan atau pembulatan suatu hasil yang tidak terhingga nilainya. Selain itu, alat Bantu yang digunakan untuk menyelesaikan perhitungan pun juga dapat mempengaruhi munculnya eror. Misalnya . Hasil yang sebenarnya adalah 0,6666666… (sampai tak terhingga banyaknya). Jika dihitung menggunakan kalkulator 12 digit, hasilnya: 0,66666666667. Jika dihitung menggunakan komputer, hasilnya: 0.66666666666666666666666666666667. adanya pembulatan sesuai dengan kemampuan suatu alat hitung inilah yang menyebabkan eror yang sangat fatal. Mungkin muncul pertanyaan, “ Mengapa dikatakan eror yang sangat fatal?” (Yupz… pertanyaan yang bagus,teman). Untuk menjawab pertanyaan itu, kita akan sedikit mengulang kembali materi pelajaran SMA. Dalam pelajaran Fisika, kita mempelajari adanya gaya gravitasi bumi. Guru SMA kita mengajarkan bahwa besarnya gaya gravitasi bumi adalah 9,8 m/s2 atau 10 m/ s2 (Supaya mudah dihitung. Bukankah begitu?) . Namun sesungguhnya nilai-nilai tersebut didapat dari hasil pembulatan. Nah… jika nilai g=9,8 m/s2 itu digunakan sebagai patokan dalam pembangunan sebuah gedung bertingkat, agar tidak roboh pada saat gempa, bayangkan saja apa yang akan terjadi jika perhitungannya tidak tepat (dengan adanya pembulatan). Ini hanya salah satu contoh saja bagaimana dampak fatal dari eror. Contoh lain misalnya penggunaan ketetapan (k) dalam perhitungan Gaya (yang lainnya, dicari sendiri ya… ).

    Di dalam operasi hitung, jika tahap pertama sudah mengandung eror dan eror itu tetap dioperasikan, maka hasil dari perhitungan itu akan terus mengandung eror yang lebih banyak, dan akan begitu seterusnya. Untuk lebih memahami penjabarab diatas, akan diberikan contoh sebagai berikut:
    = 0,666667 (pembulatan)  eror 1
    Jika hasil dari tersebut diopersikan lagi, maka:
    0,666667 : 2 = 0,3333335  eror 2
    Bila 0,3333335 dioperasikan kembali, maka hasilnyapun akan tetap mengandung eror.

    Pada semester 2, kita diajarkan untuk menghitung luasan dibawah suatu grafik dengan cara membagi-bagi luasan tersebut menjadi bagian yang lebih kecil. Dan perhitungan itu tidak lain adalah suatu permainan numerik.

    Secara garis besar Paradok Syeno dapat diartikan sebagai suatu teori yang tidak sesuai dengan kenyataannya. Menurut Syeno, sesungguhnya sebuah mata panah tidak akan pergi dari busur panahnya. Hal ini dalam kenyataannya jelas tidak mungkin terjadi. Oleh karena itu dinamakan paradok. Contohnya: secara konsep, seorang pelari sebelum melangkahkan langkah pertama, dia akan menempuh langkah ke setengah. Sebelum langkah ke setengah, pelari itu akan menempuh langkah ke seperempat. Sebelum langkah ke seperempat, pelari itu akan menempuh langkah ke seperdelapan, dan begitu seterusnya. Dan pada kenytaannnya pelari tersebut kan menempuh langkah ke 0,0000001 (nilainya mendekati 0) atau

    Diketahui beberapa , 1 = 0,01 ; 2 = 0,001 ; 3 = 0,0001 dst. Jika digambar semakin lama kurvanya akan konvergen. Hal ini dapat dilihat dari table sebagai berikut:

    No. i
    Li
    1. 0,1 L1
    2. 0,01 L2
    3. 0,001 L3
    4. 0,0001 L4

    15. 10 -15 L15
    Ada dua solusi untuk menyelesaikan suatu fungsi, yaitu:
    • Solusi Kualitatif
    Penyelesaiannya dengan menggunakan integral,
    • Solusi Numerik
    Sering dijumpai karena solusi kualitatif tidak bisa diselesaikan

    By: Lisa Apriana Dewi
    M0108055

  • Lisa Apriana.D (M0108055)
    7 years ago

    PENGERTIAN EROR

    Eror adalah salah satu masalah yang muncul dalam proses perhitungan. Mengapa dapat muncul eror? Eror muncul jika dalam suatu perhitungan terjadi proses pemotongan atau pembulatan suatu hasil yang tidak terhingga nilainya. Selain itu, alat Bantu yang digunakan untuk menyelesaikan perhitungan pun juga dapat mempengaruhi munculnya eror. Misalnya . Hasil yang sebenarnya adalah 0,6666666… (sampai tak terhingga banyaknya). Jika dihitung menggunakan kalkulator 12 digit, hasilnya: 0,66666666667. Jika dihitung menggunakan komputer, hasilnya: 0.66666666666666666666666666666667. adanya pembulatan sesuai dengan kemampuan suatu alat hitung inilah yang menyebabkan eror yang sangat fatal. Mungkin muncul pertanyaan, “ Mengapa dikatakan eror yang sangat fatal?” (Yupz… pertanyaan yang bagus,teman). Untuk menjawab pertanyaan itu, kita akan sedikit mengulang kembali materi pelajaran SMA. Dalam pelajaran Fisika, kita mempelajari adanya gaya gravitasi bumi. Guru SMA kita mengajarkan bahwa besarnya gaya gravitasi bumi adalah 9,8 m/s2 atau 10 m/ s2 (Supaya mudah dihitung. Bukankah begitu?) . Namun sesungguhnya nilai-nilai tersebut didapat dari hasil pembulatan. Nah… jika nilai g=9,8 m/s2 itu digunakan sebagai patokan dalam pembangunan sebuah gedung bertingkat, agar tidak roboh pada saat gempa, bayangkan saja apa yang akan terjadi jika perhitungannya tidak tepat (dengan adanya pembulatan). Ini hanya salah satu contoh saja bagaimana dampak fatal dari eror. Contoh lain misalnya penggunaan ketetapan (k) dalam perhitungan Gaya (yang lainnya, dicari sendiri ya… ).

    Di dalam operasi hitung, jika tahap pertama sudah mengandung eror dan eror itu tetap dioperasikan, maka hasil dari perhitungan itu akan terus mengandung eror yang lebih banyak, dan akan begitu seterusnya. Untuk lebih memahami penjabarab diatas, akan diberikan contoh sebagai berikut:
    = 0,666667 (pembulatan)  eror 1
    Jika hasil dari tersebut diopersikan lagi, maka:
    0,666667 : 2 = 0,3333335  eror 2
    Bila 0,3333335 dioperasikan kembali, maka hasilnyapun akan tetap mengandung eror.

    Pada semester 2, kita diajarkan untuk menghitung luasan dibawah suatu grafik dengan cara membagi-bagi luasan tersebut menjadi bagian yang lebih kecil. Dan perhitungan itu tidak lain adalah suatu permainan numerik.

    Daerah yang diarsir hitam dapat dihilangkan jika = 0,0000000001
    = 0 (nilainya mendekati 0)
    Atau nilai yang paling minimum adalah

    Secara garis besar Paradok Syeno dapat diartikan sebagai suatu teori yang tidak sesuai dengan kenyataannya. Menurut Syeno, sesungguhnya sebuah mata panah tidak akan pergi dari busur panahnya. Hal ini dalam kenyataannya jelas tidak mungkin terjadi. Oleh karena itu dinamakan paradok. Contohnya: secara konsep, seorang pelari sebelum melangkahkan langkah pertama, dia akan menempuh langkah ke setengah. Sebelum langkah ke setengah, pelari itu akan menempuh langkah ke seperempat. Sebelum langkah ke seperempat, pelari itu akan menempuh langkah ke seperdelapan, dan begitu seterusnya. Dan pada kenytaannnya pelari tersebut kan menempuh langkah ke 0,0000001 (nilainya mendekati 0) atau

    Diketahui beberapa , 1 = 0,01 ; 2 = 0,001 ; 3 = 0,0001 dst. Jika digambar semakin lama kurvanya akan konvergen. Hal ini dapat dilihat dari table sebagai berikut:

    No. i
    Li
    1. 0,1 L1
    2. 0,01 L2
    3. 0,001 L3
    4. 0,0001 L4

    15. 10 -15 L15
    Ada dua solusi untuk menyelesaikan suatu fungsi, yaitu:
    • Solusi Kualitatif
    Penyelesaiannya dengan menggunakan integral,
    • Solusi Numerik
    Sering dijumpai karena solusi kualitatif tidak bisa diselesaikan

    By: Lisa Apriana Dewi
    M0108055

    PENGERTIAN EROR

    Eror adalah salah satu masalah yang muncul dalam proses perhitungan. Mengapa dapat muncul eror? Eror muncul jika dalam suatu perhitungan terjadi proses pemotongan atau pembulatan suatu hasil yang tidak terhingga nilainya. Selain itu, alat Bantu yang digunakan untuk menyelesaikan perhitungan pun juga dapat mempengaruhi munculnya eror. Misalnya . Hasil yang sebenarnya adalah 0,6666666… (sampai tak terhingga banyaknya). Jika dihitung menggunakan kalkulator 12 digit, hasilnya: 0,66666666667. Jika dihitung menggunakan komputer, hasilnya: 0.66666666666666666666666666666667. adanya pembulatan sesuai dengan kemampuan suatu alat hitung inilah yang menyebabkan eror yang sangat fatal. Mungkin muncul pertanyaan, “ Mengapa dikatakan eror yang sangat fatal?” (Yupz… pertanyaan yang bagus,teman). Untuk menjawab pertanyaan itu, kita akan sedikit mengulang kembali materi pelajaran SMA. Dalam pelajaran Fisika, kita mempelajari adanya gaya gravitasi bumi. Guru SMA kita mengajarkan bahwa besarnya gaya gravitasi bumi adalah 9,8 m/s2 atau 10 m/ s2 (Supaya mudah dihitung. Bukankah begitu?) . Namun sesungguhnya nilai-nilai tersebut didapat dari hasil pembulatan. Nah… jika nilai g=9,8 m/s2 itu digunakan sebagai patokan dalam pembangunan sebuah gedung bertingkat, agar tidak roboh pada saat gempa, bayangkan saja apa yang akan terjadi jika perhitungannya tidak tepat (dengan adanya pembulatan). Ini hanya salah satu contoh saja bagaimana dampak fatal dari eror. Contoh lain misalnya penggunaan ketetapan (k) dalam perhitungan Gaya (yang lainnya, dicari sendiri ya… ).

    Di dalam operasi hitung, jika tahap pertama sudah mengandung eror dan eror itu tetap dioperasikan, maka hasil dari perhitungan itu akan terus mengandung eror yang lebih banyak, dan akan begitu seterusnya. Untuk lebih memahami penjabarab diatas, akan diberikan contoh sebagai berikut:
    = 0,666667 (pembulatan)  eror 1
    Jika hasil dari tersebut diopersikan lagi, maka:
    0,666667 : 2 = 0,3333335  eror 2
    Bila 0,3333335 dioperasikan kembali, maka hasilnyapun akan tetap mengandung eror.

    Pada semester 2, kita diajarkan untuk menghitung luasan dibawah suatu grafik dengan cara membagi-bagi luasan tersebut menjadi bagian yang lebih kecil. Dan perhitungan itu tidak lain adalah suatu permainan numerik.

    Secara garis besar Paradok Syeno dapat diartikan sebagai suatu teori yang tidak sesuai dengan kenyataannya. Menurut Syeno, sesungguhnya sebuah mata panah tidak akan pergi dari busur panahnya. Hal ini dalam kenyataannya jelas tidak mungkin terjadi. Oleh karena itu dinamakan paradok. Contohnya: secara konsep, seorang pelari sebelum melangkahkan langkah pertama, dia akan menempuh langkah ke setengah. Sebelum langkah ke setengah, pelari itu akan menempuh langkah ke seperempat. Sebelum langkah ke seperempat, pelari itu akan menempuh langkah ke seperdelapan, dan begitu seterusnya. Dan pada kenytaannnya pelari tersebut kan menempuh langkah ke 0,0000001 (nilainya mendekati 0) atau

    Diketahui beberapa , 1 = 0,01 ; 2 = 0,001 ; 3 = 0,0001 dst. Jika digambar semakin lama kurvanya akan konvergen. Hal ini dapat dilihat dari table sebagai berikut:

    No. i
    Li
    1. 0,1 L1
    2. 0,01 L2
    3. 0,001 L3
    4. 0,0001 L4

    15. 10 -15 L15
    Ada dua solusi untuk menyelesaikan suatu fungsi, yaitu:
    • Solusi Kualitatif
    Penyelesaiannya dengan menggunakan integral,
    • Solusi Numerik
    Sering dijumpai karena solusi kualitatif tidak bisa diselesaikan

    By: Lisa Apriana Dewi
    M0108055

  • Endah Krisna Murti
    7 years ago

    Eror adalah perbedaan presepsi dengan nilai sebenarnya. Eror dari suatu perhitungan didefinisikan sebagai
    eror =
    = nilai eksak (nilai sebenarnya)
    = nilai hampiran

    Contoh:
    Hitung eror dari 1,73 sebagai perkiraan dari
    solusi:
    =
    =1,73
    eror ==-1,73=0,002050808

    Sumber-sumber eror
    Eror disebabkan oleh antara lain sebagai berikut:
    1.Kesalahan pemodelan
    2.Kesalahan
    biasanya terjadi pada perhitungan manual.
    3.Ketidak tepatan data
    4.Kesalahan pembulatan (round-off error), yaitu eror yang berkaitan
    dengan penggunaan sejumlah terbatas angka signifikan.
    5.Kesalahan pemotongan (truncation error), yaitu eror yang berkaitan
    dengan metode numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena
    adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut
    perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena
    penghentian proses perhitungan.

    Sesuatu perhitungan yang dimulai dari permasalahan eror hasilnya akan terdapat eror. Sehingga Perambatan eror ini akan berbahaya sekali.
    Untuk mengurangi atau menghilangkan eror yang terjadi pada suatu fungsi dapat dilakukan dengan penyajian kembali suatu bentuk fungsi.

  • Nurul Utaminingsih(M01081030
    7 years ago

    Di dalam sistem perhitungan kita sering sekali terjadi muncul beberapa masalah .Misalnya 1/3=0.33333….yang tidak tentu berhetinya.Tentu kita tidak bisa asal memotong karena sangat berpengaruh misal dikli 1000 atow 10000.Karena hasilnya akan berbeda.Pwrmasalahn lain adalah selama ini kita tahu bahea gaya gravitasi g=9,8.Padahal 9.8 yang sudah mengalami pembulatan dan pwmotongan.Jadi jika Anda ditugaskan untuk membuat suatu gedung berlantai 25 dan dirancang untuk bisa tahan gempa hingga 7.5 skala Richter, apakah Anda masih menggunakan g=9,8 sebagai tetapan gravitasi sehingga distribusi energi akibat gempa pada masing-masing lantai sama? Bisa jadi jika Anda tetap menggunakan g=9,8 dengan gempa berkekuatan 6.5 skala Richter gedung Anda sudah kolaps. Jadi, untuk perhitungan tersebut dibutuhkan error dalam pemotongan atau pembulatan yang lebih sedikit lagi.Oleh karena itu perambatan error sangat berbahaya bila dikaitkan dengan kehidupan nyata. Karena perhitungan matematis tidak selalu benar pada kenyataannya. Pernyataan seperi ini biasa disebut Paradox Zeno.
    Paradox Zeno adalah Teori dan fakta tidak berkesinambungan.
    untuk itu kita punya 2 solusi:
    1.solusi analitik
    2.solusi numerik
    Solusi numerik digunakan Jika solusi 1 tidak bisa dengan diintegralkan.
    Misal:Menghitung debit air sungai bengawan solo dari januar-desember.
    Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitugan.
    Metode Numeik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawaban secara analitik.Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik,suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.
    Pemakaian Metode Numerik Biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik:
    1.Menyelesaikan persamaan linear
    2.Menyelasaikan persamaan simultan
    3.menyelesaikan diferensial dan integral
    4.Interpolasi dan regresi
    6.Menyelesaikan persamaan diferensial
    Jadi jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis(analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternative penyelesaian persoalan tersebut.

  • ariadne monasari r.(M0106030)
    7 years ago

    Mengapa Metode Numerik ??
    Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering diperhadapkan oleh banyak persoalan yang berkaitan dengan berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya. Sebagian besar dari persoalan-persoalan tersebut dapat diselesaikan secara matematis/menggunakan model matematika. Berkaitan dengan hal itu, terdapat dua metode pemecahan yaitu menggunakan metode analitik dan metode numerik. Penjelasan dari kedua metode tersebut adalah sebagai berikut:
    1. Metode Analitik
    Merupakan metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Metode ini memberikan solusi sebenarnya (exact solusion) solusi yang memiliki galat/error = 0. Kelemahan metode ini, hanya dapat digunakan untuk memecahkan sejumlah persoalan matematika yang terbatas, padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas, misalnya hanya dapat menyelesaian permasalahan matematika yang berkaitan dengan fungsi-fungsi integral yang mudah. Contoh bahwa metode analitik tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan matematik, misalnya ketika kita akan menentukan akar-akar persamaan polinom: 23.4×7 – 1.25×6 + 120×4 + 15×3 – 120×2- x + 100 = 0
    Persoalan di atas tentu saja tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Untuk polinom derajat 2 orang masih dapat mencari akar-akar polinom dengan rumus abc yang terkenal itu yaitu:

    namun, untuk polinom derajat > 2, tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom. Yang mungkin kita lakukan adalah dengan memanipulasi polinom, misalnya dengan memfaktorkan (atau menguraikan) polinom tersebut menjadi perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Ada juga beberapa alternatif lain. Yang pertama dengan cara coba-coba seperti metode pembagian sintetis Horner. Dengan metode ini, polinom dibagi dengan sebuah bilangan. Jika sisa pembagiannya nol, maka bilangan tersebut adalah akar polinom. Cara kedua adalah secara grafik, yaitu dengan merajah kurva fungsi di atas kertas grafik, kemudian berdasarkan gambar kurva, kita mengambil tarikan akar secara kasar, yaitu titik poyong kurva dengan sumbu-x. Cara ini, selain kaku dan tidak praktis, ketelitian akar yang diperoleh sangat bergantung pada ketelitian penggambaran kurva.. Lagipula, merajah kurva pada kertas grafik hanya terbatas pada fungsi yang dapat digambarkan pada bidang dua matra atau tiga matra. Untuk fungsi dengan peubah lebih besar dari 3 jelas tidak dapat (malah tidak mungkin) kita gambar kurvanya.
    Jadi, ketika persoalan metematik tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik, maka solusinya ialah dengan menggunakan metode numerik.

    2. Metode Numerik
    Merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numeric artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.
    Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak pada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Error merupakan selisih nilai antara nilai sesungguhnya dengan nilai perhitungan.

    Paradoks Zeno….
    Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini:
    Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut. Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura udah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura dikasih keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari ngga akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).
    Paradoks Zeno yang terkenal ini menunjukkan bahwa seseorang tidak mungkin bergerak dari titik A ke titik B, sebab sebelum sampai di titik B, orang itu harus sampai dulu ke pertengahan A-B. Tapi orang itu juga tak mungkin sampai ke titik pertengahan A-B, sebab ia harus sampai dulu ke seperempat A-B, demikian seterusnya hingga ke pembagian yang tak berhingga.
    Dalam paradoks ini, Achilles si juara lari tak mungkin mengejar kura-kura yang juga berlari di depannya. Sebab, setiap kali Achilles sampai ke tempat terakhir kura-kura tersebut, pada waktu yang sama kura-kura juga sudah bergerak ke depan, demikian seterusnya.

    Paradoks:
    • Antara teori dan fakta tidak ‘match’(cocok)
    • Bergerak dari sesuatu yang tidak pernah ada, diyakini, tetapi benar.
    • Misalnya: ketika menghitung luas daerah dibawah suatu kurva tertentu, kita menggunakan pendekatan . Kita menyakini bahwa terdapat suatu nilai dari yang sangat dekat dengan nilai 0. Akan tetapi kita akan sangat sulit menjelaskan nilai dari bilangan tersebut. Tapi diyakini benar terdapat nilai yang mendekati/sangat dekat nilai 0.

    *******

  • Novi Amlia N
    7 years ago

    Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numeric mampu menangani sistem persamaan besar, kenirlanjaran (non linear), dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik. Perbandingan metode analitik dan metode numerik sebenarnya dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) solusi yang memiliki galat/error = 0. Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas sedangkan metode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa.
    Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error. Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik
    Tahap – Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik

    Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata denga nmetode numerik, yaitu:
    1. Pemodelan
    Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika
    2. Penyederhanaan model
    Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.
    Contohnya, factor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan didalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.

    3. Formulasi numerik
    Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain:
    • menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan :
    • apakah metode tersebut teliti?
    • apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat?
    • apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil?
    • menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.
    4. Pemrograman
    Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai.
    5. Operasional
    Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya.
    6. Evaluasi
    Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil – hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

    Persoalan analisis numerik meliputi :
    • Eksistensi (ada tidaknya solusi)
    • Keunikan (uniqueness)
    • Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
    • instabilitas (instability)
    • Kesalahan (error)

    Contoh: Persamaan kuadrat
    Persamaan linier simultan
    Paradoks Zeno merupakan sebuah paradoks yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika. Achilles dan kura-kura ini salah satu dari 8 paradoks Zeno yang paling terkenal. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan ga terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :
    1. Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut.
    Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura udah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura dikasih keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari ngga akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).

  • Muhamad Sidiq (M0108095)
    7 years ago

    Perambatan error sering kita jumpai dalam khidupan sehari-hari, salah satunya ketika menghitung 2:3 akan mendapatkan hasil 0,66666.. tetapi sering kita potong dua angka dibelakang koma menjadi 0,66 dan ketika dikalikan lagi dengan angka 3 tidak akan kembali lagi menjadi 2 tetapi 1.99999…8 tetapi penghitungan tersebut sesuai dengan kebutuhan kita dan alat hitung yang dipakai.
    Apakah pembulatan atau pemotongan juga berlaku untuk grafitasi (g=9.8) dibangunan dan jembatan?
    Para ahli bangunan akan menghitung kedetailan grafitasi tersebut dikarenakan untuk memperkirakan ketika ada gempa masih layak atau tidak bangunan atau jembatan dipakai.

    Masalah-masalah Numeric bisa diselesaikan dengan 2 solusi;
    1.Solusi Analitik : Apabila masalah dapat diselesaikan dengan mudah.
    2.Solusi Numeric: Apabila suatu masalah tidak bisa diselesaikan dengan solusi analitik.

    Paradox Zeno: Suatu Teori dan faktanya kurang cocok

  • Arief Wahyu W
    7 years ago

    Chapter 1
    ” Errors in Numerical Computation ”

    Di dalam perhitungan angka kita dapat menemukan berbagai macam angka unik disetiap berbagai alat yang digunakan untuk menghitung sebuah permainan angka. Perhitungan pada alat hitung kalkulator atau komputer akan berbeda hasilnya.
    Seperti pada perhitungan 1/3 = 0.333333….dst sampai dimana …. ??? itu merupakan standar eror pada pembagian 1/3 …. Sampai dimana kita akan melakukan pemotongan angka dibelakang koma??? karena sesungguhnya angka yang dibelakang koma tersebut sangat berpengaruh bila di aplikasikan pada kehidupan nyata.. angka-angka tersebut sepertinya tidak berarti,, tetapi kalu angka tersebut bila dikalikan dengan angka-angka besar, akan kelihatan pengaruhnya. Seperti kontruksi pada gedung bertingkat dengan F=mg dengan g = 9.8(grafitasi), apakah hanya dengan memotong gaya grafitasi sebesar 9.8 saja itu sudah bisa dikatakan bagus untuk menghitung sebuah gedung bertingkat yang tinggi. berapa pengaruhnya untuk ketahanan gedung bertingkat 20??? padahal nilai grafitasi itu sama dengan 9.8…..dst,,, bila ada pemutusan/pembulatan seenaknya seperti itu,, maka akan terjadi Errors In Numerical Computation. yang akan berakibat fatal bila dilakukan.
    dan sangat berbahaya bila disambungkan dengan kehidupan nyata. Karena suatu perhitungan selalu tidak sesuai dengan kenyataannya, maka itu disebut PARADOX ZENO. Adalah Teori yang tidak sesuai dengan kenyataannya.

    Pada luasan kurva, seperti gambar diatas sendiri. warna hitam akan hilang bila delta x mendekati 0 …

    semua kejadian di dunia ini tidak semua yang bisa diselesaikan dengan analitik, makanya bisa memakai numeric. contoh : Debit air di Sungai Bengawan Solo.

  • Nanang Pambudi (M0108097)
    7 years ago

    Tidak semua perhitungan matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan solusi analitik, terkadang juga ada bebebrapa kasus yang harus diselesaikan dengan solusi numeric. Dengan menggunakan solusi numeric, kita dapat memperkecil kesalahan dalam perhitungan yang melibatkan angka-angka tak terhitung jumlahnya di belakang koma. Hal ini akan sangat bermanfaat ketika kita harus menyelesaikan perhitungan yang memerlukan ketelitian perhitungan yang mendekati nol dan jika terdapat kesalahan perhitungan, walaupun itu hanya angka-angka di belakang koma, akan menyebabkan akibat yang fatal untuk selanjutnya.
    Sebagai contoh dalam aplikasi nyata, kita lihat sajalah seberapa besar gaya gravitasi bumi sebenarnya. Dalam buku sering kita lihat tertera angka 9,8 atau 10. Dalam hal ini saja kita sudah dipusingkan dengan adanya perbedaan yang cukup besar yaitu 0,2. Mungkin untuk pelajaran SMP SMA, hal ini tidak akan bermasalah, tapi ketika digunakan dalam perhitungan yang menyangkut nasib bumi ini dan hajat hidup orang banyak, tidakkah berartinya angka 0,2 itu. Atau mungkin untuk hal yang lebih sederhana sajalah, ketika kita mengalikan angka 9,8 dan 10 dengan 1000, berapa hasil yang kita dapat???? 9800 dan 10000 bukan???? Selisihnya saja 200. Bukankah angka 200 itu cukup besar dalam suatu perhitungan.
    Dalam metode numeric juga dikenal adanya istilah paradoks zeno. Lebih sederhananya dalam kasus perhitungan luasan pada sebuah kurva. Untuk menghitung luasan pada kurva sering kita gunakan limit mendekati nol, padahal ketika sebuah angka dikalikan dengan nol, maka hasilnya juga nol. Tapi dengan menggunakan limit mendekati nol lah, suatu luasan pada kurva dapat dengan mudah diselesaikan. Seperti inilah yang sering disebut dengan paradoks zeno.

  • drajat indra p
    7 years ago

    TUGAS I
    DRAJAT INDRA PURNAMA (M0106038)

    Definisi Error (Kesalahan).

    Timbul dari penggunaan aproksimasi. Meliputi 2 hal, yaitu:
    1. Kesalahan pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
    2. Kesalahan pembulatan (round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

    Harga sebenarnya = aproksimasi + error
    Et = harga sebenarnya – aproksimasi
    Dimana Et = harga pasti error, dengan t berarti true.
    Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya:

    Kesalahan relatif fraksional = Kesalahan/harga sebenarnya
    Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4
    menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan adalah kesalahan yang
    ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka signifikan.

    Angka Signifikan.
    Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik. Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yang dapat meyakinkan kita. Beberapa angka 0 tak selamanya angka signifikan, karena mereka diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal. Jadi bilangan-bilangan 0,00001845 lalu 0,0001845 lalu0,001845 semuanya memiliki 4 angka signifikan.
    Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah dimana 4,53 104 atau 4,530 104 dan 4,5300 104 menandakan bahwa angka-angka tersebut memiliki 3, 4, dan 5 angka signifikan.
    Implikasi dari angka signifikan:
    MetNum mengandung hasil pendekatan. Keyakinannya ditentukan oleh angka signifikan. Pernyataan secara eksak besaran-besaran yang signifikan seperti , dibatasi oleh tipe data yang dapat disimpan oleh komputer sampai sejumlah digit tertentu, selebihnya diabaikan. Pengabaian ini dinamakan dengan kesalahan pembulatan (round-off error).

    Perambatan Kesalahan (Error Propagation)
    Sebagaimana disebutkan sebelumnya bahwa setiap hasil pengukuran memiliki ketidakpastian (error) sendiri-sendiri. Jika terdapat beberapa hasil pengukuran, dan dilakukan operasi matematika terhadapnya, maka ketidakpastian atau error tersebut akan mengalami perambatan. Disini kesalahan pengukuran akan teruuuusss terakumulasi. Let’s make it simple! Misal, hasil pengukuran terhadap panjang sebuah kotak (X) adalah 25,34 ± 0,03 cm, hasil pengukuran terhadap lebar kotak (Y) = 13,52 ± 0,03 cm, dan hasil pengukuran terhadap tinggi kotak (Z) = 5,74 ± 0,01 cm. Selanjutnya apabila kita diminta untuk menghitung volume kotak tersebut, maka hitungan matematisnya adalah XYZ = (25,34 ± 0,03)( 13,52 ± 0,03)( 5,74 ± 0,01) cm. Pada hasil akhir operasi matematika tersebut akan terjadi akumulasi error atau kesalahan (katakanlah d). d ini merupakan angka toleransi yang merupakan hasil penghitungan akhir total error. Akumulasi error hasil operasi matematika (d) inilah yang disebut error propagation atau parambatan kesalahan.

    Paradoks Zeno
    Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.
    1. Dikhotomi
    Paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.
    2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura
    Achilles – kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini.
    Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.
    3. Anak panah
    Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.
    4. Stadion
    Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.

  • NAFSA AMALI
    7 years ago

    Metode Numerik

    Pada bab ini diperhatikan dengan pengunaan komputer untuk memcahkan masalah-masalah. Dengan menggunakan algoritma, rangkaian pengertian baik untuk operasi bahwa solusinya kira-kira adalah problem suatu masalah. Dalam beberapa kasus algoritma boleh memberi solousi tepat jika aritmatika tepat digunakan juga. Namun komputer tidak menggunakan aritmatik yang tepat (kecuali integral) hasil akhirnya akan setengah-setengah.

    Fungsi kontinu adalah fungsi yang nilainya memiliki hasil x kontinu juga.

    Kemudian selanjutnya mengenai Paradoks Zeno, yang mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian Paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu marangsang otak-otak kreatif Matematikawan dan memberi warna padea sejarah perkembangan matematika. Ada 4 paradoks yang terkanal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Achilles dan kura-kura. Achilles- ksatria pada perang Troya, mitologiYunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dulu. Untuk memudahkan penjelasan maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini. Bayangkan : Achilles berlari dengan kecepatan 1 m/s sedngkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, 0.5 m/s. Namun, kura-kura mengawali perlombaan dari 0/5 jarak yang akan ditempuh (misal : jarak yang ditempuh perlombaan adala 2 km, maka titik awal kura-kura adalah pada posisi 1km sedangkan Acuilles 0 km) kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada posisi 1.5 km ; Achilles mencapai posisi 1.5 km kura-kura mencapai posisi 1.75 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles menyusul kura-kura?

  • kristy handayani m0108053
    7 years ago

    Eror dalam perhitungan numeric

    Eror dapat dan mungkin terjadi dalam perhitungan numeric. Suatu hasil perhitungan yang mengandung nilai eror akan tetap bernilai eror meskipun dioperasikan kembali bahkan berulang kali.Eror yang terus menerus terjadi dalam perhitungan (perambatan eror) dapat berakibat fatal, tentunya hasil yang didapatkan akan semakin jauh dari nilai kebenaran (kevalidan). Sebagai misal dalam hukum Hooke dikenal suatu variable k, yaitu kekuatan elastisitas. k dihitung dengan menggunakan rumus F=k.x F=m.g, sehingga nilai F yang didapat tergantung pada nilai m(massa) dan g(gravitasi). Oleh sebab itu akan didapat nilai F yang berbeda apabila dimasukkan nilai massa dan gravitasi yang berbeda. Padahal dalam fisika, nilai gravitasi yang digunakan tidaklah selalu sama, ada yang menyebutkan 9,8 atau bahkan ada yang dibulatkan hingga 10m/s. Kita lihat bahwa dari hasil pembulatan g akan didapatkan nilai F dan k yang tidak valid, artinya dalam perhitungan tersebut sudah didapatkan eror yang pertama, sehingga apabila dilanjutkan perhitungannya, akan terjadi yang disebut dengan perambatan eror. Dalam kasus ini, nilai gravitasi yang menghasilkan eror itulah yang diyakini banyak orang selama ini. Seperti halnya paradox-zeno, adanya kisah perlombaan antara seorang atlet pelari dengan seekor kura-kura, disebutkan bahwa perlombaan tersebut dimenangkan oleh kura-kura, padahal secara riilnya tentulah atlet yang akan memenangkan perlombaan karena kura-kura yang sangat lelet gerakannya. Jadi inilah yang disebut dengan paradox  sesuatu yang keliru hanya berdasarkan pada apa yang diceritakan namun diyakini banyak orang seperti pada kasus pembulatan nilai gravitasi tadi, artinya secara teoritis dan faktanya mempunyai nilai yang berbeda, atau saling berkontradiksi.
    Dalam numeric perhitungan harus sangat diperhatikan dan diutamakan. Sehingga kita harus menentukan bagaimana caranya untuk dapat meminimalisir atau bahkan mencegah munculnya eror dan parambatan eror dalam perhitungannya. Dalam hal ini alat hitung juga berpengaruh dalam memberikan hasil perhitungan. Dari alat hitung dengan kapasitas dan kualitas yang berbeda akan diperoleh hasil yang berbeda, misalnya jumlah/banyaknya digit dibelakang koma. Artinya semakin bagus alat hitungnya akan memberikan hasil yang semakin mendekati kevalidan.
    Dalam perhitungan dikaenal dua macam cara penyelesaian / solusi, yaitu:
    1. Solusi Analitis misal ada suatu fungsi, maka fungsi tersebut dapat langsung diselesaikan/ dioperasikan secara manual(ex: diintegralkan), namun tidak semua fungsi dapat diselesaikan secara analitis, sehingga penggunaannya hanya terbatas pada fungsi yang sederhana.
    2. solusi numeric dengan menggunakan solusi numeric dapat diselesaikan berbagai fungsi yang sebelumnya tidak dapat diselesaikan secara analitis.

    Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa eror yang bahkan sangat sedikit sekalipun dapat memberikan dampak buruk yang semestinya tidak terjadi dalam perhitungan. Karena eror yang sedikit tadi akan menyebabkan perambatan eror kedalam perhitungan yang lainnya, jika dibiarkan terus terjadi maka perhitunganpun akan semakin menjauhi nilai kebenaran atau bahkan tidaklah valid. Sehingga dalam numeric hal ini sangat perlu diperhatikan.

  • Rahmawati Oktriana_ M0108061
    7 years ago

    Pertemuan pertama membahas Chapter 1 “ ERROR PERHITUNGAN NUMERIK “. Kata ‘error’ sendiri sering kita jumpai, dengar, dan bahkan mengucapkannya, tapi apa penjelasan error yang tepat untuk menjelaskan semua ini? Dalam penjelasannya diberikan beberapa gambaran yang mudah dipahami untuk menjelaskan makna error yang dibahas dalam Chapter 1 ini. Beberapa gambaran beliau antara lain :
    • hasil perhitungan 1/3
    • Gaya yang akan ditimbulkan gedung yang sangat tinggi saat terkena gempa .
    • Perhitungan hasil daerah luasan di bawah kurva.

    1. Hasil perhitungan 1/3.
    Pada penjelasan awal,digunakan contoh simple ini. Walaupun simple, tapi sudah bisa memberikan sedikit gambaran mengenai error yang dimaksud di sini. Juga diberikan perbandingan alat yang digunakan untuk menghitung 1/3 agar kami mengetahui perbedaan hasilnya. Beberapa alat yang beliau sebutkan antara lain : ponsel, kalkulator ( kalkulator biasa dan scientific kalkulator ), dan computer yang memakai prosesor yang berbeda.
    Perhitungan 1/3 = 0.3333333333…
    Nah, dari masing-masing alat yang digunakan memberikan hasil yang berbeda. Hasil yang berbeda di sini dalam artian merupakan hasil pemotongan ataupun pembulatan setelah tanda koma. Jika angka 1 dibagi 3 maka hasilnya adalah 0.33333333… Dari alat-alat yang disebutkan di atas ada yang hanya menampilkan 6, 9, 12 digit setelah tanda koma ataupun lebih, sesuai dengan kapasitas alat itu masing-masing.
    Perbedaan ini akan nampak sekali jika hasil tersebut kita kalikan. Misal, kita memotong hasil tersebut menjadi 0.333 dan 0.3 kemudian masing-masing hasil tersebut kita kalikan dengan 1000 maka:
    0.333 x 1000 = 333
    0.3 x 1000 = 300
    Selisih antara 333 dengan 300 itulah yang dinamakan error dalam perhitungan. Alangkah berbahaya jika error tersebut dibiarkan.

    2. Gaya yang akan ditimbulkan gedung yang sangat tinggi saat terkena gempa .
    Sebelumnya dipakai gambaran paku yang sangat panjang yang menancap di tanah. Saat paku panjang tersebut ditarik pada salah satu sisinya dan dilepaskan, maka paku panjang tersebut akan membentuk simpangan yang berubah-ubah setiap detiknya yang pada saat tertentu paku panjang itu akan berhenti ketika simpangannya mengecil. Kemudian,dipaparkan jika hal yang menimpa paku panjang itu diterapkan pada gedung sangat tinggi yang sedang terkena gempa. Bayangkan, simpangan yang dihasilkan jika gedung sangat tinggi terkena gempa, maka simpangan yang ditimbulkannya pun akan sangat besar yang disebabkan karena gaya berbanding lurus dengan simpangan.Karena simpangannya yang sangat besar otomatis gayanya juga besar, perhitungan gaya yang digunakan di sini mengikuti Hukum Hooke, yang secara matematis dituliskan sebagai berikut :
    F = – k ∆x
    F : Gaya ( Newton )
    k : Konstanta
    ∆x : Simpangan / pertambahan panjang
    Dalam hal ini F ( gaya ) juga dipengaruhi oleh gaya gravitasi , yang juga secara matematisnya sebagai berikut :
    W : m . g
    Dengan g di sini sebagai gaya gravitasi. Pada saat di SMU, guru fisika sering menggunakan 9,8 m/s2 sebagai nilai dari gaya gravitasi. 9,8 ( merupakan hasil pemotongan ) di sini tidak akan berpengaruh jika yang dihitung adalah benda kecil, tapi akan sangat berpengaruh jika yang dihitung adalah sebuah gedung yang sangat tinggi. Tentu hasilnya akan sangat berbeda antara gaya yang menggunakan nilai gaya gravitasi yang dipotong dengan nilai gaya gravitasi yang tidak dipotong. Perhitungan ini akan sangat berguna untuk mengetahui apakah gedung yang terkena gempa tersebut masih bias ditempati kembali atau tidak. Pada beberapa saat yang lalu, saat Jogja terkena gempa, ahli forensic bangunan sangat dicari, karena merekalah yang sangat ahli untuk mengetahui seberapa mampukah sebuah gedung untuk layak ditempati kembali atau tidak setelah terkena gaya yang sangat besar. Banya pihak yang berpendapat bahwa gedung itu sudah tidak dapat lagi digunakan setelah gempa, tapi para ahli forensic bangunan bersikeras bahwa gedung ini masih bias digunakan kembali. Dan terbukti, bahwa sampai saat ini gedung ini masih bias berdiri dan digunakan sebagai mana mestinya. Dari contoh ini, kami dapat memahami betapa penting menentukan tetapan – dipotong atau dibulatkan- itu dilakukan untuk setiap perhitungan.

    3. Perhitungan hasil daerah luasan di bawah kurva.
    Sejak SMU kita sudah diajari bagaimana menghitung daerah luasan di bawah kurva ( luasan daerah yang dibatasi oleh kurva ). Dalam penjelasannya juga menggunakan perhitungan hasil luasan daerah di bawah kurva untuk menjelaskan error yang terjadi. Dalam menghitung luasan daerah yang dibatasi kurva biasanya kita memakai integral. Nah, di sini yang perlu diperhatikan adalah pengambilan nilai ∆x, karena jika kita mengambil ∆x : 0.1 dengan ∆x : 0.00000001, maka hasilnya akan berbeda. Lalu harus berapa nilai ∆x yang diambil ? jika kita mengambil 0 ( nol ) sebagai nilai ∆x maka sama saja tidak ada luasan yang terjadi, tapi jika kita mengambil nilai tertentu maka akan menimbulkan hasil yang berbeda, maka alangkah lebih baik jika kita mengambil nilai dari Limit ∆x mendekati 0 (nol).

    Dari ketiga gambaran di atas, sudah dapat dipahami bahwa pengertian error dalam hal ini adalah harga mutlak dari selisih L( perhitungan akhir ) dan Li ( perhitungan2).
    Pemotongan dan pembulatan dapat digunakan sesuai kebutuhan dan alangkah lebih bijaknya jika memikirkan error masing-masing yang akan ditimbulkan dari langkah yang kita putuskan dan akibat yang akan ditimbulkannya..
    Solusi yang bias digunakan adalah Solusi numeric dan solusi analitik.

  • citra panindah sari
    7 years ago

    kesalahan numerik sering terjadi karena adanya suatu proses pendekatan. kesalahan-kesalahan dalam perhitungan numerik sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari yaitu kesalahan dalam pembulatan dan pemotongan. sering sekali kita tidak dapat membedakan antara pembulatan dan pemotongan. Dan pembulatan itu snediri sering disebut dengan “eror”, apa itu eror??? eror adalah sesuatu yang terjadi karena ketidaksamaan antara solusi analitik dan solusi numerik.
    Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang
    disebabkan oleh pembulatan misalnya 0.4
    atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan
    pemotongan adalah kesalahan yang ditimbulkan
    pada saat dilakukan pengurangan jumlah angka
    signifikan.

    dan kita tahu dalam menghitung luasan y=f(x) sangat riskan dengan eror. Karena terjadi selisih dalm kurvaantar irisian dibawah kurva itu sendiri.

  • Susi Ranangga M0108067
    7 years ago

    Akurasi Perhitungan ( Eror Numeric)

    Dalam perhitungan sering terjadi ketidakcocokan antara hasil terakhir perhitungan yang satu dengan yang lain. Perbedaan ini terletak pada digit terakhir yang terkadang hasil akhirnya harus di bulatkan atau harus dipotong.

    Contoh dalam kehidupan sehari-hari yaitu :
    Dalam pembuatan sebuah gedung yang terlebih dahulu harus memperhitungkan resiko gempa yang akhir-akhir ini sering terjadi. Kita misalkan pembuatan gedung dengan lantai 25 menggunakan pembulatan g= 9.8 maka untuk gedung yang lantainya di bawah 25 perhitunganyapun tak kan jauh beda sehingga resiko antara gedung dengan lantai 25 ataupun 25 ke bawah adalah sama. Padahal dalam kenyataan hal ini sangat jauh berbeda. Inilah contoh kecil dalam eror numeric.

    Contoh lainnya misalkan kita menghitung suatu luasan kurva. Solusi pemecahannya ada 2 yaitu solusi analitic dan solusi numeric. Dalam solusi analitic kita gunakan perhitungan integral yang terlebih dahulu pendefinisiannya dari limit. Kita tahu bahwa limit itu sendiri memiliki arti pendekatan. Namun terlebih dahulu kurva itu kita bagi menjadi persegi panjang kecil-kecil. Akan kita dapatkan luasan yang menjadikan suatu eror,maka kita gunakan nilai panjang ataupun lebar(notasi x) dengan nilai yang sangat kecil misalkan 0,00000000000000000001. dalam hal ini limit berperan yang mana nilai tadi bisa kita katakan x mendekati 0(penganmbilan keputusa untuk menggunakan nilai 0 ini sering kita sebut deengan paradox zeno,Apakah arti paradox zeno itu sendiri??? mari kita bahas di bawah ini). Sehingga pada kenyataan kita menghitung luasan persegi panjang yang sangat tipis yang bentuknya mungki mirip sekali dengan suatu benang.

    Paradox zeno
    ” Dalam lomba, pelari tercepat tidak pernah dapat menyalip yang paling lambat, sejak pengejar harus terlebih dahulu mencapai titik yang dikejar mulai dari mana, sehingga lebih lambat harus selalu mengadakan memimpin. ” ”
    Aristotle , Physics VI:9, 239b15 – Aristoteles, Fisika VI: 9, 239b15 ( Diambil dari google).
    Dari hal itu sedikitnya saya bisa mengatakan bahwa suatu paradox zeno adalah melakukan suatu gerakan pertama yang hampir-hampir tak terlihat namun kita yakin hasil dari yang dilakukan nantinya adalah hasil yang kita inginkan. Jadi kita meyankini sesuatu yang belum terbukti kebenarannya namun hasilnya memang hal yang kita yakini tersebut.( Haduh-haduh sebenernya sedikit bingung juga dalam pemilihan kata untuk mendefinisikan paradox zeno tersebut)

    “Ok, sekarang saya lanjutkan bahasan di atas,sampai pada mana tadi??oy luasan kurva.”
    Untuk kurva sederhana mungkin masih bisa kita gunakan solusi analitic tersebut. Namun jika kita sudah mulai memperoleh permasalahan yang kemudian menuntut kita muntuk memodelkannya dalam suatu model matematika. Kita akan mulai kebingungan bila pemodelan matematika tersebut tidak sesederhana keliatannya. Nah dari sini metode numeric atau solusi numeric mulai berperan.

    “Ok teman-teman karena itu mari kita nantikan kuliah metode numeric besok untuk lebih jelas lagi. Chayo!!!!”

  • vurista wulansari
    7 years ago

    Chapter 1
    Errors in Numerical Computation
    [Error pada Perhitungan Numerik]

    Efisiensi Perhitungan
    Penyelesaian kuadratik ax2+bx+c=0 adalah:

    D>0 untuk 2 akar real
    D=0 untuk 2 akar real sama
    D<0 untuk akar imajiner
    Loose of signifikan adalah semakin besar nilai b maka kesalahannya semakin besar(error perhitungan komputasi di banding exactnya).
    Efisiensi perhitungan suatu algoritma dapat di tentukan dengan cara membandingkan jumlah operasinya yaitu operasi penjumlahan,pengurangan,perkalian dan pembagian,evaluasi fungsi.
    Paradokzero merupakan suatu istilah yang berarti antara teori dan fakta tidak sesuai.ini artinya tidak ada keterkaitan antara teori dengan realita yang terjadi.

    Errors
    Error sering terjadi dalam menemukan penyelesaian exact dalam permasalahan matematika.
    Error = nilai exact – nilai pendekatan
    α = XT – XA
    Sebagai contoh:
    dx
    Hal ini tentu saja tidak praktis untuk menyelesaikan angka-angka besar dari persamaan linear di atas.
    Biasanya kita tidak dapat menghitung karena terjadi error yaitu terjadi karena nilai exact tidak dapat di ketahui.Dengan kata lain,ini artinya hasil tersebut mengandung error.Walaupun error yang terjadi cukup kecil (karena terjadi dari satu operasi saja).Error yang terjadi secara terus menerus akan sangat berbahaya karena akan menyebabkan perlambatan error yang berbahaya.
    Contoh lain:
    = 0,33333333
    Dari contoh di atas,kita tidak boleh memotong ataupun melakukan pembulatan.
    Dalam dunia fisika,kita juga dapat menemukan contoh yang mempunyai permasalahan sama yaitu mengenai sebuah gedung yang tinggi.Suatu gedung yang tinggi jika terjadi gempa maka gedung tersebut akan mengalami goyangan ke kiri dan ke kanan.Hal ini sering di sebut dengan simpangan getar yang mempunyai besar sama.Percepatan gravitasi juga mempengaruhi kejadian ini
    F= Gaya
    m= massa benda
    g= percepatan gravitasi bumi
    Hal ini juga bisa terjadi pada sebuah bandul yang di gantung dan memperoleh usaha yaitu berupa dorongan sehinga bandul tersebut bergoyang. Simpangan terbesar dari bandul ini di sebut amplitudo.
    Fungsi kontinyu akan selalu dapat kita temukan suatu nilai dari sepanjang sumbu x.
    F = k. Δx
    F= Gaya
    k= konstanta pegas
    Δx= selisih jarak yang terjadi

    Demikian resume perkuliahan pada pertemuan pertama.Terima kasih.
    Yurista wulansari M0108073

  • eko utoro (m0108041)
    7 years ago

    Assalamualikum wr.wb
    Error in numerical computation ..

    Kesalahan dalam perhitungan disebut sebagai error ini terjadi karena kesalahan dalam melakukan pembulatan dalam suatu pembagian terutama…
    Misal 1 dibagi 3 akan menghasilkan angka :0,33333333….
    terhitung hasil pembagian diatas sampai tak hingga . . .
    Kesalahan akan berakibat fatal jika angka tersebut dikalikan olen bilangan exact yang besar misal
    misal 2/3 hasilnya : 0,6667 juga bisa 0,666667
    akan beda hasilnya jika dikalikan 1000000 hasilnya : 666700 dan 6666667
    Jelas keduanya sangat berbeda ini merupakan error atau kesalahan dalam pemotongan suatu bilangan.

    Sebagai contoh lain di bidang fisika, yaitu konstruksi sebuah gedung tinggi 25 lantai yang apabila terjadi gempa apabila kita menghitung kekuatan gempa itu dan menafsirkan besaran gravitasi = 9.9. Resiko kerusakan apakah akan sama?? Jawabanya tidak
    Karena semakin tinggi gedung akan semakin besar resiko kerusakannya karena goncangan apabila kita menggunakan gravitasi : 9,8 maka resiko antara gedung yang berlantai 25 dan yang lantai 10 akan sama besar ini jelas kesalahan dalam penghitungan numeric.
    Pertanyaannya : Kapan perhitungan ini akan benar : yaitu sesuai kebutuhan.
    Dalam matematika error sering juga terjadi pada penghitungan luasan pada sebuah kurva
    Solusinya ada 2 yaitu solusi Analitik dan solusi numeric. Solusi Analitik adalah solusi yang memakai pengintegralan secara langsung. Solusi Numeric adalah Langkah penyelesaian selain menggunakan metode integral dan sering memakai pendekatan atau dengan membagi kurva menjadi persegi2 panjang.
    Contoh soal yang tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik tapi dengan metode numeric :
    Penghitungan Debit air bengawan solo.

    Dalam metode numeric seringkali kita menemukan sebuah penghitungan yang tidak sesuai denagn kenyataan biasanya disebut ‘Paradoks zeno’.
    Filosofi paradoks zeno adalah paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura udah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura dikasih keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 100 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 100 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 10 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 110 m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari ngga akan bisa mendahului kura-kura. Dengan intinya keduanya tidak ada yang menang dan kalah.

    Jadi kita harus teliti dalam menghitung numeric agar kesalahan penghitungan tidak berakibat fatal.
    Cukup sekian wassalamualaikum

  • Ardy Yudha
    7 years ago

    Eror adalah sering tidak praktisnya menemukan solusi yang tepat untuk masalah matematika. Perambatan error selalu terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Pada kehidupan sehari-hari perambatan error dapat kita lihat pada pembulatan. .
    Contoh;
    4 : 3 = 1,3333333333333333333333…
    Apabila kita ambil dua angka dibelakang koma maka akan kita peroleh nilai 0,33.
    Dan apabila nilai tersebut kita kalikan 3 maka;
    4/3 x 3= 1,333 x 3 = 1,999
    Maka hasil yang kita dapatkan tidak kembali ke awal yaitu 1 melainkan 1,99.
    Selisih nilai tersebut menunjukkan error dalam perhitungan.

  • Lilik Prasetiyo
    7 years ago

    Tes

  • hakim (m0109045)
    6 years ago

    METODE NUMERIK
    Pengertian Metode Numerik
    Dalam mata kuliah kali ini yang didampingi oleh bapak Sutanto kita akan banyak membahas mengenai metode numerik. Sebelum kita membahasnya lebih dalam kita harus mengetahui apa itu metode numerik.
    Sesuai dengan namanya metode numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah baik itu masalah kompleks ataupun masalah sederhana yang diformulasikan sedemikian rupa sehingga permasalah tersebut dapat diselesaikan secara aritmatika.

    Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematis, suatu persoalan matematis yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.
    Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitis) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai elternatif penyelesaian persoalan tersebut.

    Contoh yang sangat sederhana adalah mencari luasan daerah suatu kurva. Secara matematis luasan kurva dapat kita hitung menggunakan persamaan integral, ya…itu kalo persamaan integralnya diketahui dengan bentuk kurva yang mudah, akan tetapi bagaimana jika kurva tersebut berbentuk tidak karuan atau bahkan mungkin kita belum mengetahui bagaimana bentuk kurva tersebut? Mampukah kita menyelesaikan persoalan di atas bila kita juga tidak mengetahui persamannya? Nah, salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus ini adalah metode numerik. Dengan menggunakan metode numerik kita bisa menggunakan pendekatan dengan luasan.

    Sebenarnya metode numerik itu sendiri adalah cara penyelesaian metamatis yang dikembangkan dari cara analisis, dan memasuki wilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan dengan menggunakan media komputer.

    Pada dasarnya ada beberapa prinsip yang harus kita pegang apabila kita menggunakan metode numerik sebagai metode penyelesaian. Metode tersebut antara lain:
    • Digunakan pada kasus persoalan yang rumit sehingga metode analitis tidak bisa digunakan lagi.
    • Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
    • Karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan).
    • Metode Numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik.
    • Pendekatannya merupakan analisis matematis.
    • Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan.

    Pemakaian metode numerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitis, yaitu :

    • Menyelesaikan persamaan non linier
    • Menyelesaikan persamaan simultan
    • Menyelesaikan differensial dan integral
    • Interpolasi dan Regresi
    • Menyelesaikan persamaan differensial
    • Masalah multi variable untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat

    Error Dalam Metode Numerik
    Metode numerik adalah metode penyelesaian dengan menggunakan teknik aproksimasi. Nah, dari sini kita sudah bisa menebak pasti akan ada kesalahan atau error dalam metode numerik (ingat manusia adalah tempatnya salah lho…hehehe).
    Mengapa kita harus mempelajari error? Lihat diagram di bawah!

    Error =>↓ Kesalahan
    =>↓↑ Biaya
    =>↓↑ Korban, dll

    Dari diagram di atas kita bisa melihat bahwasanya kesalahan yang terjadi akan membutuhkan biaya yang besar untuk menanggulanginya bahkan tidak menutup kemungkinan suatu kesalahan akan memakan korban. Untuk kesalahan dalam metode numerik akan dibahas pada sub bab berikutnya pada posting berikutnya…tunggu ya pak…..hehehehe…..Apakah sampai di sini anda masih tertarik dengan metode numerik?

    Angka Signifikan
    Angka signifikan menyatakan keandalan sebuah nilai numerik atau dengan kata lain angka signifikan adalah banyaknya angka tertentu yang dapat dipakai dengan meyainkan. Dua arti penting mengenai angka taksiran adalah sebagai berikut:
    • Angka signifikan akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik.
    • Angka signifikan memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa untuk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak karena jumlah digit yang terbatas. Hal ini sering kita sebut dengan pembulatan.
    Berikut merupakan contoh dari angka signifikan
    0,000123 => mengandung 3 angka signifikan (nol bukan merupakan angka signifikan)
    0,00123 => mengandung 3 angka signifikan (nol bukan merupakan angka signifikan)
    12.300 => Tidak jelas berapa angka signifikannya, karena msh dipertanyakankan apakah angka nol itu berarti atau tidak…!
    1,23 x 104 => mengandung 3angka signifikan (memakai notasi ilmiah)
    1,230 x 104 => mengandung 4 angka signifikan (memakai notasi ilmiah)
    1,2300 x 104 => mengandung 5 angka signifikan (memakai notasi ilmiah)

    OK TUNGGU POSTING SELANJUTNYA YA PAK!!!!!

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *


*

Skip to toolbar