Pemodelan Matematika : Memahami [ Matematika] Tuhan

Ada beberapa hal yang saya temukan dalam mengajar Pemodelan Matematika :

Proses penciptaan ternyata banyak yang dimulai dari sesuatu yang paradox dan intervensi sesuatu yang imaginer akan menjadikan  sesuatu lebih konkrit yang konkrit dan riil, seperti halnya teori limit delta x mendekati nol : Percaya pada suatu nilai yang sangat kecil tapi tidak sama dengan NOL.

Ada mahasiswa yang bertanya : “Berapakah nilai tersebut ?, Apakah 0.0000000000001?”

Saya jawab : ” TIDAK….. karena akan ada 0.00000000000001 yang pasti lebih kecil”

“Lantas, bilangan berapa?” lanjut mereka. Apakah kami harus menggunakan kalkulator yang canggih atau memakai komputer dengan procesor intel pentium core duo untuk mendapatkan anka itu?

Silakan….namun apapun komputer yang kamu pakai; JAWABAN-nya adalah  : “Limit bilangan mendekati Nol”

Inilah awal dari sebuah paradox atas semua penciptaan. Konsep ini dibawa sampai pada menghitung luasan, volume benda putar bahkan sampai digunakan untuk menentukan titik keseimbangan sebuah benda. Anehnya semua orang percaya dan yakin atas hasil hitungan tersebut yang berangkat dari sesuatu yang tidak ada.

Hal lain, nampak keajaiban dalam penciptaan gerakan pegas yang dapat dibuat persamaan gerakannya. Ternyata harus menggunakan intervensi bilangan imaginer (akar -1)  tatkala koefisien gesek pegas pada bidang sentuh relatif kecil (gerakan pegas ini identik dengan struktur dinamis pada Gerakan gedung akibat terkena gempa bumi).

Apa makna dari semua itu ? Ternyata dalam memahami karya besar Tuhan, kita musti melakukan pelompatan dimensi yang kadang mungkin dirasakan kontradiksi atau paradoksial.  Tidak jauh berbeda dengan kejadian meletusnya Gunung Merapi dan Fenomena Mbah Maridjan dimana kita musti memahami dari lompatan dimensi spiritual yang ternyata sanggup dirasionalkan. Lihat : http://sutanto.staff.uns.ac.id/2008/08/28/hello-world/

ada seorang juru kunci gunung merapi yang mempunyai 3 hipotesa luar biasa : Mbah Maridjan ! Adapun 3 hipotesa dia adalah :

1. Jangan bicara kotor disekitar merapai pada malam kamis kliwon

2. Jangan mengambil pasir di merapi dengan alat berat

3. Merapi itu sedang buang hajat, pasti ke belakang jadi Yogya aman

Lagi-lagi, ini bukan klenik dari seorang penjaga gunung dengan kitab Primbon Jawa atau Ramalan Primbon Jawa nya. Ini sangat rasional alias sangat matematis sekali. Adalah tantangan buat kita semua untuk menggabungkan hipotesa2 yang ada diatas kedalam sebuah rangkaian fakta yang masuk dalam logika manusia.

Dimana rasionalitasnya ? Kami persilakan anda menikmati indahnya matematika berikut :

  1. Pada malam kamis kliwon, adalah waktu dimana posisi bulan dekat dengan bumi, artinya kalau di merapi terjadi pergolakan magma yang besar maka akan sangat mungkin terjadi gaya tarik yang besar antara magma yang berada dalam perut bumi dengan bulan, sehingga terjadi hal yang buruk di sekitar merapi ( Ingat : Gaya tarik menarik antara 2 benda yang berjarak r adalah berbading terbalik dengan kuadrat jaraknya, sehingga kalau r nya kecil maka gaya tariknya akan besar). Maka marilah semuanya tirakat dengan jangan bicara kotor. Bicaralah yang baik-baik…
  2. Pasir dan material disekitar merapi kalau dieksplorasi dengan alat berat akan berakibat merubah kontur geomitris dari gunung yang tidak lagi berbentuk parabola. Kenapa parabola? Lihat desain golden bridge di bawah ini, yang tidak lain dan tidak bukan adalah sebuah model persamaan kuadrat : Y = aX2 + bX + c atau Y= a ( X-X1)(X-X2) dimana X1, X2 adalah akar-akar dari pers kuadrat

Contoh lain adalah bilangan e : 2.7182818284590452353602874713527 yang men-ilustrasikan setiap kita bernafas maka akan terkena bunga dari Bank (buat yang punya pinjaman di Bank) bahkan hampir semua kejadian yang natural (pertumbuhan atau peluruhan) dilustrasikan dengan bilangan tersebut.

Rahasia Keberadaan atau distribusi kemunculan bilangan prima yang besar , dimana bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (Manunggaling kawulo kalian Gusti) adalah masih sangat misterius seperti kemunculan bencana yang datang tanpa seoarang tahu akan terjadi. Kita  tidak akan pernah tahu kapan Gunung merapi akan meletus mengeluarkan awan panasnya dan lahar dinginnya sepereti kita mengetahui kapan akan terjadi gerhana bulan dan matahari.

28 Responses to “Pemodelan Matematika : Memahami [ Matematika] Tuhan

  • nugroho on August 25th, 2010 9:45 am edit

    Pemodelan matematika mempunyai peranan penting dalam perkuliahan dan mempunyai keterkaitan erat dengan mata kuliah yang lain. Pemodelan matematika memerlukan penjelasan dalam pengkonstruksiannya. Diperlukan variabel yang sekiranya mempunyai kontribusi yang besar dalam model matematika. Tetapi diperlukan asumsi-asumsi dalam model tersebut sedemikian sehingga model tersebut tidak begitu rumit dan sederhana.
    Ada dua penerapan model matematika yaitu bidang fisika dan bidang biologi. Akan tetapi didalam memehaminya terkadang memerlukan sentuhan matematika didalamnya. Banyak kasus dapat diselesaikan dengan model matematika, misalnya bilangan eksponensial. Sehingga model diperlukan dalam banyak hal.

  • Resume Kuliah Kedua Pemodelan Matematika

    Tujuan utama diperlukannya pemodelan matematika adalah untuk menjelaskan suatu masalah yang terjadi. Terkadang seseorang mengetahui sebab dan akibat dari masalah tersebut secara intuitif. Akan tetapi apakah jawaban tersebut sahih dan dapat diterima oleh akal pikiran. Dengan dibentuknya suatu model matematika, orang menjadi dapat menjelaskan sebab dan akibat dari suatu masalah secara ilmiah dan dapat diterima oleh akal sehat.

    Seperti halnya jika bola dijatuhkan ke atas lantai. Secara spontan orang pasti akan berkata bahwa bola tersebut jatuh ke bawah. Akan tetapi, jika dilihat dari sudut pandang orang di belahan bumi yang lain maka arah jatuh bola tersebut dianggap sebagai arah atas. Pada kejadian ini, dapat dikatakan bahwa sebenarnya bola tersebut jatuh ke arah pusat bumi. Kejadian tersebut terjadi disebabkan oleh adanya pengaruh gaya gravitasi bumi. Dengan diketahuinya bahwa terdapat pengaruh gaya gravitasi bumi, selanjutnya dapat dibuat model dengan variabel gravitasi di dalamnya dan tentu saja dapat diketahui mengapa bola itu jatuh ke arah perut bumi. Karena hanya terdapat satu gaya yang berpengaruh, yaitu gravitasi bumi, kejadiantersebut akan berbeda lagi jika terdapat dua gaya yang mempengaruhinya. Hal tersebut juga dapat diketahui dengan dibangunnya suatu model atas kajadian tersebut.Suatu masalah dapat dijelaskan dengan model matematika, begitu pula sebaliknya.

    Pembuatan model dapat diawali dengan observasi masalah yang akan dimodelkan. Setelah dilakukan suatu observasi, ditentukan terlebih dahulu mana variabel-variabelnya, baik yang terikat ataupun yang bebas. Semakin banyaknya variabel yang muncul mengakibatkan semakin kompleks model yang dibentuk. Guna mengurangi kekomplekskan model tanpa mengurangi esensi model tersebut, diperlukan penggunaan asumsi-asumsi yang membatasi masalah yang dimodelkan tersebut. Penentuan variabel dan asumsi bukanlah hal yang mudah bagaikan membalikkan telapak tangan. Diperlukan pengamatan yang cukup dalam terhadap masalah yang akan dimodelkan tersebut. Selain itu, diskusi dengan banyak pihak juga dapat digunakan sebagai salah satu cara untuk menentukan variabel-variabel tersebut.

    Salah satu contohnya masalah laju pertumbuhan tanaman. Variabel terikat dari model tersebut tentu saja adalah laju pertumbuhan tanaman tersebut. Variabel-variabel bebas yang mempengaruhi laju pertumbuhan tanaman dapat dibagi menjadi beberapa blok. Blok pertama adalah variabel-variabel yang berasal dari media tanam, contohnya unsur hara dan air. Kemudian blok kedua adalah variabel yang berasal dari lingkungan sekitar tanaman, seperti suhu, intensitas cahaya, kelembaban dan lain-lain. Pada kenyataannya variabel-variabel pada blok kedua dapat diganti dengan menggunakan variabel posisi lintang dan bujur. Dikarenakan hanya dengan memperoleh informasi lintang dan bujur, seseorang dapat menentukan berbagai informasi yang berkenaan dengan keadaan topografi suatu daerah. Walaupun demikian, penggunaan variabel tersebut tentu saja masih dapat didiskusikan lebih lanjut untuk mendapatkan model yang lebih baik.

  • Tanjung Gunandari (M0107060)
    6 years ago

    Resume Perkuliahan Rabu, 25 Agustus 2010

    Pemodelan matematika mampu menerangkan kejadian-kejadian dalam kehidupan secara ilmiah. Kejadian yang sering kita temui adalah benda yang jatuh. Benda selalu jatuh ke bawah, itu menurut orang awam, tetapi secara ilmiah tidak. Setiap benda yang berada di bumi ini akan jatuh menuju pusat bumi. Mengapa seperti itu? Hal ini disebabkan karena daya tarik bumi atau yang biasa disebut dengan gravitasi. Semakin berat benda tersebut maka akan semakin cepat pula menuju pusat bumi. Massa (m) benda berbanding lurus dengan gaya yang berlaku (F)
    F=m.g

    Gaya yang berlaku pada benda sangat ditentukan pula dengan letak benda tersebut karena gaya gravitasi pada setiap belahan bumi berbeda-beda, hal ini disebabkan karena jarak dengan pusat bumi yang berbeda.
    Apabila terdapat dua benda yang memiliki daya tarik (seperti gravitasi) maka gaya yang berlaku adalah
    F=G (m_1 m_2)/r
    Ket : G merupakan konstanta
    m_1 merupakan massa benda 1
    m_2 merupakan massa benda 2
    r merupakan jarak benda 1 dengan benda x

    Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk membuat model matematika adalah identifikasi variabel independen, sebagai ilustrasi mengenai pertumbuhan tanaman. Variabel-variabel yang mempengaruhi pertumbuhan adalah unsur hara, air, bibit tanaman, suhu, sinar martahari, curah hujan dan angin. Identifikasi sebaiknya dilakukan secara rinci dan lengkap, seandainya dimulai dari mengidentifikasi variabel berpengaruh yang terletak didalam media tanam, setelah itu baru dilakukan identifikasi pada blok yang lain. Hal ini akan mempermudah peneliti melakukan identifikasi dan memperkecil kemungkinan terdapat variabel yang terlewatkan.

    Langkah selanjutnya yang dilakukan adalah mencoba melihat ada tidaknya korelasi antar variabel independen (multikolinearitas), misal suhu dan sinar matahari. Korelasi antar variabel independen ini dapat menyebabkan model yang dihasilkan kurang baik. Residu yang dihasilkan cukup besar, sehingga tidak mampu menjelaskan fenomena yang sebenarnya.

    Asumsi dalam model matematika perlu dilakukan. Hal ini digunakan untuk mempermudah pencarian data dan memperoleh konstruksi model yang tidak terlalu kompleks. Asumsi yang diberikan akan mengurangi pencarian data mengenai variabel independen, karena variabel tersebut diangap stabil. Pemilihan variabel independen harus berlandaskan alasan yang ilmiah. Pemilihan asumsi yang kurang tepat akan berpengaruh terhadap model. Hendaknya variabel yang dijadikan asumsi bukan merupakan vaiabel independen yang sangat vital memengaruhi variabel dependen, misal unsur hara.

    Hasil penelitian seringkali antar peneliti yang satu dengan yang lain sering kali berbeda. Hal ini dikarenakan subjektifitas peneliti. Untuk mengetahui seberapa besar perbedaannya maka dapat diperoleh dengan konsep jarak yang merupakan interprestasi dari model matematika. Apabila variabel yang diamati lebih dari satu maka akan diperoleh vektor, dimana vektor-vektor tersebut dapat diperoleh jarak antar vektor.

  • Ika Susanti
    6 years ago

    Pemodelan matematika adalah suatu cara yang digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan baik dalam kehidupan nyata maupun matematika. Dalam membentuk model matematika diperlukan suatu variabel yang mempengaruhinya, baik variabel independen maupun dependent.

    Bola yang jatuh pasti kebanyakan orang akan menjawab ke bawah, akan tetapi berbeda dengan seorang ilmuwan yang akan menjawabnya ” bola akan jatuh ke pusat bumi”. Hal tersebut dipengaruhi ole adanya gaya gravitasi bumi dan massa benda.
    Contoh lain dalam kehidupan nyata yang dapat dibuat model adalah permasalahan dalam bidang pertanian (pertumbuhan tanaman). Untuk membentuknya menjadi model matematika diperlukan variabel – variabel yang mempengaruhinya, diantaranya suhu,intensitas cahaya, kadar air, unsur hara. Keempat variabel tersebut saling mempengaruhi satu sama lain, sehingga menyebabkan tanaman tersebut akan tumbuh subur.

    Dalam membentuk model matematika terlebih dahulu mengadakan observasi terhadap permasalahan yang akan dijadikan model. Setelah itu dipilih variabel – variabel yang mempengaruhi baik variabel bebas maupun terikat. Dalam pemilihan variabel tetntu saja haruslah yang benar2 vital mempengaruhi masalah tersebut. Jadi hal ini akan mengakibatkan banyaknya variabel yang dipakai bisa sedikit atau banyak. Setelah itu model matematika bisa disusun sesuai dengan masalah yang ingin dipecahkan.

  • Sugih Hokki
    6 years ago

    Pemodelan matematika dapat digunakan untuk melakukan pendekatan-pendekatan terhadap permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk memodelkan suatu permasalahan perlu melakukan beberapa tahap. Pertama penyusunan konsep sesuai permasalahan. Kedua memformulasikan model dari permasalahan tersebut. Kemudian mensimulasi model, dan yang terakhir menerapkan model tersebut ke dalam kehidupan sehari-hari. Contoh penerapan model matematika dalam bidang biologi antara lain masalah laju pertumbuhan tanaman. Variabel-variabel yang mempengaruhinya dapat dibagi menjadi beberapa bagian, seperti bagian media tanam dan bagian lingkungan sekitar tanaman.

  • Lanjutan resume kuliah pertama pemodelan matematika

    Model matematika dapat dibagi menjadi dua kelompok besar. Model pertama adalah model matematika yang bersifat umum dan dikenal banyak. Sebagai contohnya adalah model laju pertumbuhan tanaman ataupun model bola jatuh yang telah dijelaskan terlebih dahulu. Sedangkan model kedua adalah model matematika untuk matematikawan/wati. Salah satu contoh model untuk matematikawan/wati adalah diperolehnya bilangan natural e. Bilangan yang bernilai 2.179… ini diperoleh dari Limit mendekati tak terhingga dari (1+1/x)^x. Model ini dapat ditemui dalam dunia perbankan. Jika seseorang memiliki modal $1. Maka orang tersebut ingin menabungkan modal tersebut pada salah satu bank. Satu bank menawarkan bunga 100% setelah modal tersebut ditabung, kemudian bank lain menawarkan bunga 50% setelah satu semester modal tersebut ditabung. Menurut kalkulasi secara matematik tentu saja orang tersebut akan memilih bank kedua untuk memperoleh untung yang lebih besar dalam jangka waktu satu tahun. Hal ini disebabkan pada semester kedua, modal orang tersebut telah ditambah dengan bunga yang diperoleh pada semester sebelumnya. Jika bunga yang diberikan semakin kecil dan interval waktu pemberian bunga juga diperkecil hingga mendekati tak terhingga, maka tabungan orang tersebut pada awal tahun kedua adalah sejumlah $2.179… Begitulah bagaimana bilangan natural e diperoleh. Masih banyak contoh model untuk matematikawan yang lain.

  • Ika Susanti
    6 years ago

    Lanjutan pemodelan matematika…

    Karena resume yang kemarin kurang begitu lengkap maka akan ditulis lanjutan dari resume kemarin,,,:)

    Salah satu contoh pemodelan matematika adalah benda yang jatuh pasti kebanyakan orang akan mengatakan “jatuh ke bawah”.
    Akan tetapi , sebenarnya suatu benda akan dipengaruhi suatu gaya sehingga dia akan jatuh ke pusat bumi atau pusat gravitasi (dengan simbol g).
    Bentuk bumi adalah bulat, sehingga dari benda tersebut akan mengakibatkan suatu gaya yang disebut gaya sentripetal (fisika).
    Gaya sentipetal dipengaruhi oleh massa 2 buah benda dan jarak benda terhadap pusat gravitasi. Sebagai contoh, seseorang membawa batu dengan berat 20 kg dengan jarak 2x jari2 bumi (dihitung dari permukaan bumi).
    Untuk mencari gaya yang terjadi pada benda tersebut, digunakan rumus untuk menghitung gaya sentripetal yaitu F = (K m1.m2)/r^2.Dimana m1 adalah massa bumi dan m2 adalah massa benda yang diketahui dan r adalah jarak benda terhadap pusat bumi.
    Sehingga untuk menentukan suatu gaya yang bekerja dri suatu benda diperlukan suatu variabel yang menyebabkan gaya tersebut berubah – ubah yaitu masa benda,massa bumi dan jarak antara benda dengan opusat gravitasi.

    Permasalahan dalam dunia nyata sangatlah beragam, dan dapat dibuat model tentunya. Contoh lainnya yaitu Seorang nasabah bank swasta menabung di suatu bank dengan modal awal $1, pihak Bank 1 menawarkan bunga sebesar 100 % per tahun sehingga untuk satu tahun ke depan nasabah tersebut menerima uang sebesar $2,
    selanjutnya ada Bank 2 menawarkan bunga sebesar 50 % pertahun, nasabah akan menerima uangnya satu tahun lagi sebesar $1.5, kemudian Bank 3 menawarkan bunga 25 %, begitu seterusnya sampai diperoleh nilai bunga terkecil yang dapat ditawarkan oleh pihak Bank yang bersangkutan. Sebenarnya permasalahan perbankan tersebut merupakan salah satu aplikasi matematika
    yaitu aplikasi pendekatan dengan Limit, Limit mendekati tak hingga dari (1+1/x)^x. Dengan anggapan $1 = 2,719… (bilangan epsilon). Sehingga dari permasalahan tersebut sebenarnya adalah penjelasan dari bilangan epsilon muncul.

    Contoh lain pemodelan matematika di bidang fisika yaitu penerapan HUkum Newton dan Hukum Hooke. Hukum Newton terutama Hukum Newton 2 menjelaskan bahwa F = m a, untuk menentukan formula tersebut Newton melakukan percobaan sederhana dengan alat yang sederhana pula yaitu rumah kuda miliknya. Di saat ada badai di rumahnya, ibunya menyuruh newton memasukkan kuda2 miliknya,,akan tetapi bukannya dimasukkan melainkan malah lompat2an dari luar andang ke dalam kandang (aneh memang). Dalam lompatannya selalu berubah-ubah karena adanya badai yang sedang berlangsung,
    dia mencoba lompatan ketika badai berlangsung dan saat badai tidak begitu besar,,dan dia mendapatkan bahwa lompatan yang ia lakukan selalu berbeda jaraknya dengan lompatan sebelumnya. Dan untuk Hukum Hooke (pegas) semakin besar gaya yang diberikan maka perpindahan yang diberikan juga akan semakin nesar karena F ~ x .

  • adi tri ratmanto (m0107002)
    6 years ago

    Pemodelan matematika adalah studi tentang konsep dan operasi matematika didalam dunia real dan pembentukkan model-model untuk menggali , memahami dan menyelesaikan suatu masalah yang kompleks. Dalam perkembangannya model matematika telah diaplikasikan pada bidang ilmu pengetahuan di luar matematika antara lain pada bidang Fisika, Kimia, Biologi, Kesehatan, Teknik, Ekonomi, Geologi dan sebagainya.

    Dalam pembentukan suatu model tidaklah mudah perlu dilakunnya suatu observasi untuk mendapatkan variabel-variabel yang diperlukan dalam pembentukkan suatu model dan hal lain yang harus diperhatikan asumsi-asumsi yang digunakan dalam pembentukkan suatu model. Asumsi diperlukan untuk menyederhanakan model tersebut akan tetapi tujuan utama dari model tersebut tetap tercapai.

    Salah satu contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan model matematika adalah laju pertumbuhan tanaman. Dalam membangun suatu model laju pertumbuhan tanaman dapat diklasifikasikan beberapa variabel yaitu variabel terikat yaitu pertumbuhan tanaman itu sendiri dan variabel bebas. Dalam variabel bebas tersebut dapat dibagi menjadi beberapa blok yaitu dilihat dari media tanam itu sendiri yaitu tanah tetapi apa yang sangat berpengaruh terhadap laju pertumbuhan tanaman tersebut sehingga dari media tanam dapat diambil variabel dari kandungan unsur hara dan kadar air dalam media
    tanam tersebut. Kemudian blok di luar media tanam misalnya intensitas cahaya, angin, suhu, dan lain-lain yang dimana variabel tersebut dapat juga diganti dengan informasi dari garis bujur dan garis lintang daerah tersebut dari hal dapat diketahui bagaimana topologi daerah tersebut yang berpengaruh terhadap variabel-variabel bebas sebelumnya.
    Pada dasarnya dalam pembentukkan suatu model perlu diperhatikan dalam menentukkan asumsi yang relevan terhadap model tersebut sehingga variabel-variabel yang diperoleh juga relevan yang berakibat diperolehnya model yang baik dalam menyelesaikan masalah yang ada.

  • adi tri ratmanto (m0107002)
    6 years ago

    Bilangan e (Neperian number)
    Bilangan e (Neperian Number) adalah bilangan yang dapat dijumpai dalam model pertumbuhan. Adapun nilai dari e = 2.71828. Nilai tersebut dapat dilihat dari sebuah fungsi
    f(x)=(1+1/x)^x.
    Untuk x = 1,2,….,10 diperoleh nilai f(x) yang disajikan dalam table 1
    Tabel 1. Nilai f(x) untuk x = 1,2,…,10
    x f(x) x f(x)
    1 2 6 2.52163
    2 2.25 7 2.54650
    3 2.37037 8 2.56578
    4 2.44141 9 2.58117
    5 2.48832 10 2.59347

    Atau dapat dituliskan dengan definisi limit sebagai berikut
    e=lim┬(x→∞)⁡〖f(x)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(1+1/x)^x.〗
    Nilai pendekatan tersebut dapat diverifikasi dengan deret Mac-Laurin yaitu
    ϕ(x)=e^x
    =ϕ(0)+ϕ'(0)+ϕ”(0)/2! x^2+ϕ”'(0)/3! x^3+⋯+(ϕ^n (0))/n x^n+R_n
    =1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+⋯+1/n x^n+R_n
    Dengan
    R_n=e^ξ/(n+1)! x^(n+1),
    untuk Rn→0 ketika n→∞ sehingga untuk ex dapat dituliskan
    e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+⋯
    Untuk x=1, diperoleh
    e=1+1+1/2!+1/3!+⋯
    =2+0.5+0.166667+⋯
    =2.7182819
    Konsep dari nilai e tersebut dapat diaplikasikan dalam ilmu ekonomi yaitu dalam pemberian suku bunga dalam waktu yang sangat kecil. Hal ini dapat disimulasikan sebagai berikut. Dimisalkan A mempunyai modal Rp.1 kemudian A akan menyimpan uang tersebut di bank. A mendapatkan penawaran dari berbagai bank katakanlah bank 1, bank 2, bank 3, dst. Dari bank 1, A mendapatkan penawaran bunga sebesar 100 % per tahun . Dari bank 2, A mendapatkan penawaran bunga sebesar 50 % per 6 bulan. Dari bank 3, A mendapatkan penawaran bunga sebesar 33% per 4 bulan dan seterusnya. Hal ini akan diperjelas dengan perhitungan sebagai berikut
    Untuk bank 1
    f(1)=(1+1/1)^1=(1+100%)=2
    Untuk bank 2
    f(2)=(1+1/2)^2=(1+50%)^2=2,25
    Untuk bank 3
    f(1)=(1+1/3)^3=(1+33%)^3=2.37037 dst
    Jadi untuk x→∞, modal Rp 1,00 akan menjadi Rp e,00 dalam waktu 1 tahun dengan bunga 100% yang dihitung pada setiap 1/x tahun.

  • Nurica Prilanda W (M0107044)
    6 years ago

    Gaya Sentrifugal Bumi-Bulan
    Pada sistem Bumi-Bulan dalam keadaan setimbang, dimana bulan tidak pernah jatuh ke bumi walaupun massa bumi lebih besar, terjadi gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut. Gaya yang dimaksud adalah gaya tarik menarik dan gaya sentrifugal pada sumbu bersama.
    Keseimbangan gaya yang terjadi di Bumi:
    F=G(M.m)/r2
    M.w^2.re= G(M.m)/r^2……………………………(1)
    Keseimbangan gaya yang terjadi di Bulan:
    F=G(M.m)/r^2
    m. w^2.rm= G(M.m)/r^2……………………………(2)
    dari (1) dan (2) diperoleh:
    re=r/(1+M/m) yang merupakan jarak dari pusat bumi ke sumbu bersama
    r= rm+ re
    w=kecepatan sudut
    Gaya sentrifugal inilah yang membuat bulan tetap berada pada orbitnya—selain teori Newton yang mengatakan bahwa gravitasi juga dipengaruhi oleh jarak dan massa.
    Gravitasi bulan terhadap bumi memengaruhi beberapa aktivitas di bumi. Salah satunya adalah pasang-surut air laut. Gaya gravitasi bulan menarik air laut ke arah bulan sehingga memengaruhi ketinggian ombak dan permukaan laut. Karena bulan mengitari bumi, maka akan ada saat di mana satu sisi dari bumi lebih dekat dengan bulan. Bagian yang dekat dengan bulan inilah yang akan mengalami air laut pasang, sedangkan bagian lainnya yang tidak dekat dengan bulan mengalami air laut surut. Pasang-surut air laut juga berkaitan dengan fase bulan. Biasanya, air laut akan mengalami pasang tinggi pada saat bulan purnama.
    Yang menjadi fenomena terhangat tentang kondisi bumi-bulan saat adalah menjauhnya bulan dari bumi. Pertengahan tahun 2009, Prof. Carrol Alley, fisikawan dari University of Maryland, Amerika Serikat (AS), menembakkan laser dari pusat observasi luar angkasa ke panel reflektor yang pernah ditinggalkan Neil Armstrong di bulan pada 1969. Dari kegiatan rutin yang dilakukan setiap tahun tersebut, terbukti bahwa perlahan, tapi pasti bulan menjauh dari bumi. Pengamatan lain yang dilakukan di McDonald Observatory , AS, menyatakan bahwa jarak orbit bulan menjauh sekitar 3,8 sentimeter setiap tahun. Tentunya, ini akan memengaruhi berbagai aspek kehidupan alam di bumi.

  • anis telas tanti (M0106003)
    6 years ago

    Pemodelan matematika merupakan akibat dari penyelesaian permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari yang diselesaikan menggunakan matematika. Masalah nyata dalam kehidupan biasanya timbul dalam bentuk gejala-gejala yang belum jelas hakikatnya. Kita masih harus membuang faktor-faktor yang tidak/kurang relevan, mencari data-data dan informasi tambahan, lalu kita menemukan hakikat masalah sebenarnya. Lanngkah ini dinamakan sebagai mengidentifikasi masalah. Misalnya ketika suatu benda yang ditarik oleh dua pusat massa yang berbeda gaya gravitasinya. Perbedaan gaya gravitasi dan massa dari kedua benda inilah yang merupakan identifikasi masalah. Langkah selanjutnya setelah mengidentifikasi masalah yaitu menerjemahkan masalah ke bahasa lambang, yaitu matematika. Penerjemahan ini disebut pemodelan matematika. Setelah model matematika jadi, maka dicari alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Pemodelan inilah yang menjadi kunci dalam penerapan matematika. Memodelkan masalah ke dalam bahasa matematika berarti menirukan atau mewakili objek yang bermasalah dengan relasi-relasi matematis. Istilah faktor dalam masalah menjadi peubah atau variabel dalam matematika. Pada hakikatnya, kerja pemodelan tidak lain adalah abstraksi dari masalah nyata menjadi masalah(model) matematika. dalam kuliah pemodelan matematika, dipelajari tentang bagaimana suatu benda yang dikenai gaya bisa jatuh bukan kebawah melainkan ke pusat bumi. dalam kehidupan nyata banyak masalah yang bisa dimodelkan (dibuat pemodelannya). Salah satu contohnya adalah pertumbuhan tanaman yang saat ini sangat diperlukan dalam pencegahan global warming. Pertumbuhan tanaman dipengaruhi oleh berbagai faktor yaitu unsur hara, air, intensitas cahaya matahari yang berpengaruh terhadap suhu. Satu hal lagi yang baru saya ketahui ketika ikut kuliah pemodelan matematika yaitu pertumbuhan tanaman juga dapat dipengaruhi oleh letak geografis didasarkan pada garis bujur dan garis lintang. Itulah sebabnya mengapa terdapat tumbuhan yang hanya bisa hidup di satu tempat saja. Mari kita kembali mengulas tentang pemodelan matematika terhadap pertumbuhan tanaman dimana variabel yang digunakan adalah unsur hara, intensitas cahaya, air dan letak geografis.

  • Agus Zuliyanto(m0107020)
    6 years ago

    BILANGAN EXPONENT

    Permasalahan bunga bank

    Seseorang ingin menabungkan uang 1 dolar dalam satu tahun. Dia ingin mendapatkan keuntungan yang terbesar dari bunga bank yang didapatkan. Jika bunga bank dari salah satu bank didapat setelah 12 bulan dengan besar 100% dari saldo, kemudian ada bank yang kedua dengan bunga diberikan setelah 6 bulan dengan besar 50% dari saldo, dan yang ketiga adalah setiap 4 bulan mendapat bunga 30% dari saldo, dan seterusnya sampai bank yang terakhir yang tak terbatas jumlahnya. Berapakah besar saldo terbesar yang mungkin didapatkan penabung dalam akhir tahun?
    Penyelesaian:
    {dengan menghitung sendiri}
    Saldo Bank ke-1= 1+1=2
    Saldo Bank ke-2=1+ 1/2+1/2 (1+1/2)=1(1+1/2)+1/2 (1+1/2)
    =(1+1/2)(1+1/2)
    =(1+1/2)^2=2,25
    Saldo Bank ke-3=1+1/3+1/3 (1+1/3)+1/3 (1+1/3+1/3 (1+1/3) )
    =1(1+1/3)+1/3 (1+1/3)+1/3 (1(1+1/3)+1/3 (1+1/3) )
    =(1+1/3)^2+1/3 (1+1/3)^2
    =(1+1/3)(1+1/3)^2
    =(1+1/3)^3=2,37037
    Sehingga untuk bank ke –n dapat dicari dengan(1+1/n)^n.

    Dalam (http://www.purplemath.com/modules/expofcns5.htm) beberapa hasil perhitungannya adalah
    how often
    compounded computation
    yearly
    semi-annually
    quarterly
    monthly
    weekly
    daily
    hourly
    every minute
    every second
    {maaf tidak bisa ditampilkan, tetapi dapat dilihat di alamat web di atas}

    Karena jumlah bank yang tak terhingga, maka akan ada tak hingga kemungkinan yang terjadi. Sehingga untuk keuntungan yang terbesar yang mungkin didapat penabung dapat dicari dengan lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗.

    Dalam http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29)
    pada tahun 1683 Jacob Bernoulli meneliti tentang lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗yang kemudian dikenal dengan e, dimana hasil yang diperoleh adalah sama dengan nilai e = 2.718281828. Dengan kata lain saldo total penabung terbanyak adalah kira-kira 2.718281828.

  • Agus Zuliyanto(m0107020)
    6 years ago

    HUBUNGAN HUKUM NEWTON DENGAN HUKUM HOOK PADA SISTEM PEGAS MASSA

    Dalam SPM hanya terjadi gerakan maju dan mundur, misalkan ada massa sebagai acuan gerakan pegas dan x sebagai perubahan posisi massa, maka ketika diam perubahan posisi massa adalah x = 0, kemudian x juga disebut arah dari SPM. Untuk x = 0 adalah posisi setimbang. Dalam observasi ada 2 kemungkinan yaitu
    1. Jika x > 0 (pegas merenggang), untuk mengembalikan massa pada posisi setimbang, maka pegas menarik massa, sehingga gaya yang diperlukan adalah (F < 0).
    2. Jika x 0).

    Grafik yang menunjukkan hal itu adalah seperti di bawah ini:
    {tidak bisa ditampilkan}

    Dengan kata lain gaya dipengaruhi peregangan pegas. Untuk peregangan yang tidak terlalu besar, maka kurva di atas dapat di dekati oleh persamaan garis lurus. Grafiknya adalah
    {tidak bisa ditampilkan}

    Dengan melihat grafik di atas, maka persamaan garis lurus dapat dinyatakan dengan
    F = -kx, dimana k = konstanata pegas.
    Kemudian menurut hukum Newton II didapat persamaan untuk SPM adalah
    F = -kx
    ma = -kx

    Untuk membuktikan persamaan garis tersebut dapat dilakukan dengan membuat persamaan regresi estimasinya yaitu dengan menghitung
    F= a + bx +E
    Dimana
    b= (n(∑xF)-(∑x)(∑F)) / (n[(∑x)^2] – [(∑F)]^2), n = jumlahpasangan data x dan F
    a = F – bx

    {mengacu pada Richard Haberman, 1977, Mathematikal Model in Mechanical Vibration, Population Dynamics, and Traffic flow}

    Tentunya untuk kasus SPM, maka akan lebih mudah untuk mencari persamaan pendekatanya dengan menghitung secara langsung dengan tidak dengan mencari regresi. Karena disamping harus mencari data pasangan x dan F akan lebih mudah untuk mencari pendekatan fungsi SPM dengan cara menghitung langsung atau melihat grafik{grafik sesuai dengan perkuliahan}.

  • Sugih Hokki
    6 years ago

    Contoh pemodelan matematika dalam bidang fisika yaitu jatuhnya benda akan menuju pusat bumi. Jatuhnya benda menuju pusat bumi dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Hal ini ditulis dalam hukum Newton, yaitu
    Hukum I Newton, menyatakan tentang kelembaman / inersia benda yaitu kemalasan benda untuk mengubah keadaan geraknya. Benda yang semula diam akan terus diam, dan benda yang semula bergerak akan terus bergerak lurus beraturan, kecuali jika ada gaya luar yang bekerja pada benda.
    Hukum II Newton, menyatakan bahwa ketika resultan gaya pada benda tidak nol maka benda akan mengalami percepatan. Besarnya gaya (Newton) dirumuskan F=m∙a , dengan m massa benda (kg) dan a percepatan (m/s^2).
    Hukum III Newton, menyatakan bahwa gaya selalu berpasangan. Jika A mengerjakan gaya pada B (gaya aksi) maka B memberi reaksi balik dengan mengerjakan gaya pada A yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan.
    Gaya jatuh suatu benda dipengaruhi pula oleh gaya sentripetal dan gaya sentrifugal. Gaya sentripetal merupakan gaya total yang arahnya menuju pusat bumi. Gaya sentrifugal merupakan efek semu yang ditimbulkan ketika sebuah benda melakukan gerak melingkar menjauhi pusat bumi.
    Contoh lain pemodelan matematika dalam dunia perbankkan yaitu pemberian suku bunga. Seorang nasabah memiliki $1 dan ingin menabungkan uangnya pada satu bank. Bank A menawarkan bunga 100% pertahun, bank B menawarkan bunga 50% persetengahtahun, bank C menawarkan bunga 25% perseperempattahun. Untuk memperoleh untung yang besar nasabah tersebut tentunya akan memilih bank C. Dalam waktu 3 bulan nasabah tersebut telah memperoleh bunga 25%, sehingga uang yang dimilikinya menjadi $1,25. Kemudian pada bulan ke-6 ia memperoleh bunga 25% lagi dari modal barunya $1,25, sehingga uang nasabah tersebut menjadi $1,56. Pada akhir tahun uangnya menjadi $2,44. Jika memilih bank B, dalam waktu 6 bulan nasabah tersebut memperoleh bunga 50%, sehingga uang yang dimilikinya menjadi $1,5. Kemudian pada akhir tahun ia memperoleh bunga 50% lagi dari modal barunya $1,5, sehingga uang nasabah tersebut menjadi $2,25. Sedangkan apabila ia memilih bank A, pada akhir tahun ia hanya mendapatkan $2. Hal ini memunculkan bilangan epsilon, yang merupakan aplikasi pendekatan limit mendekati tak hingga dari (1+1/x)^x. Dalam masalah pemilihan bank di atas, x sebagai waktu perhitungan bunga.

  • irfan (M0107077)
    6 years ago

    resume kuliah permodelan matematika

    Salah satu contoh : Andi mempunyai uang 1 dolar dan ingin menabungkan uangnya di bank dalam satu tahun. Dia ingin memperoleh keuntungan/ laba yang terbesar dari bunga bank yang dia dapatkan. Jika bunga bank A didapat setelah 12 bulan dengan besar 100% dari saldo, kemudian bank B dengan bunga diberikan setelah 6 bulan dengan besar 50% dari saldo, dan bank C adalah setiap 4 bulan mendapat bunga 30% dari saldo, dan seterusnya sampai bank yang terakhir yang tak terbatas jumlahnya. Berapakah besar saldo terbesar yang mungkin didapatkan penabung dalam akhir tahun?
    Penyelesaian:
    Saldo Bank A = 1+1=2
    Saldo Bank B = 1+1/2+1/2(1+1/2)
    = (1+1/2)(1+1/2)
    =2.25

    Saldo bank C = 1+1/3+1/3(1+1/3)+1/3(1+1/3+1/3(1+1/3))
    = 1(1+1/3)+1/3(1+1/3)+1/3(1(1+1/3)+1/3(1+1/3))
    = (1+1/3)^2+1/3 (1+1/3)(1+1/3)
    = (1+1/3)(1+1/3)(1+1/3)
    = (1+1/3)(1+1/3)(1+1/3)
    = 2,37037

    Sehingga, untuk bank n dapat di cari dengan rumus (1+1/n)^n

  • irfan (M0107077)
    6 years ago

    Contoh pemodelan matematika dalam bidang fisika yaitu jatuhnya benda akan menuju pusat bumi. Jatuhnya benda menuju pusat bumi karena dipengaruhi oleh gaya gravitasi.
    Benda bergerak menghasilkan gaya. Besarnya gaya berpengaruh terhadap massa benda, percepatan benda tersebut, dan gravitasi. Gaya gravitasi dipengaruhi oleh gaya sentripetal dan gaya sentripugal.

  • definisi dari bilangan e adalah lim x->~ (1+1/x)^x atau lim x->0 (1+x)^(1/x)
    aplikasi dalam perbankan :
    seseorang ingin menabungkan uangnya sebesar 1$ ke kebuah bank.
    setiap bank yang ada memiliki program bunga yang berbeda.
    misalkan :
    bank A, akan memberikan bunga 100% @ tahun
    bank B, akan memberikan bunga 100% @ 1/2 tahun
    bank C, akan memberikan bunga 100% @ 1/4 tahun
    dan seterusnya,jika dimodelkan maka
    bank selanjutnya akan memberikan bungan 100% @ 1/n tahun
    dengan n : 1 s/d ~
    pertanyaanya adalah, manakah yang menghasilkan keuntungan maksimum dan berapa besarnya?
    perhitungan bunga tersebut dpat dimodelkan dengan
    f(x)=(1+x)^(1/x).
    diperoleh bahwa semakin sedikit waktu pemberian bunga, maka itulah maksimumnya.
    jika n=~ atau walktu pemberian bungan mendekati 0,
    maka diperoleh nilai e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352
    jadi bunga maksimum sebesar 2,718… $ dengan ketentuan pemberian bunga
    100% @ mendekati 0 tahun. (referensi http://id.wikipedia.org/wiki/E_(konstanta_matematika))

  • pak, saya belajar menulis tentang kuliah pemodelan dlm bentuk pdf, harapanya orang awampun mudeng, tapi baru pertemuan pertama yang bisa saya upload. matur nuwun

    download MF : http://www.mediafire.com/?7xd7tt89k871dm7

  • nugroho
    6 years ago

    Pemodelan matematika dapat diterapkan pada bidang fisika, misalnya yang sering digunakan hukum Newton dan hokum Hooke. Gaya adalah sesuatu yang menggerakkan. Hukum-hukum tersebut diperoleh dari percobaan-percobaan yang dasarnya statistik. Dengan konsep-konsep fisika gaya dapat diturunkan. Sehingga dapat digunakan untuk kepentingan tertentu.

  • nugroho
    6 years ago

    Pemodelan matematika dapat diterapkan pada bidang fisika, misalnya yang sering digunakan hukum Newton dan hokum Hooke. Gaya adalah sesuatu yang menggerakkan. Hukum-hukum tersebut diperoleh dari percobaan-percobaan yang dasarnya statistik. Dengan konsep-konsep fisika gaya dapat diturunkan. Sehingga dapat digunakan untuk kepentingan tertentu. Jadi anatara statistik dan pemodelan erat hubungannya serta berkorelasi satu sama lain.

  • nugroho
    6 years ago

    Pemodelan matematika dapat diterapkan pada bidang fisika, misalnya yang sering digunakan hukum Newton dan hokum Hooke. Gaya adalah sesuatu yang menggerakkan. Hukum-hukum tersebut diperoleh dari percobaan-percobaan yang dasarnya statistik. Dengan konsep-konsep fisika gaya dapat diturunkan. Sehingga dapat digunakan untuk kepentingan tertentu. Jadi erat hubungannya antara pemodelan dengan statistik serta saling berhubungan.

  • Tanjung
    6 years ago

    Konstanta matematika e atau logaritma alami bukanlah hal yang baru bagi anak sekolah. Sejak SMP kita telah diperkenalkan dengan bilangan ini meskipun tidak pernah dibahas secara detail. Tapi sebagai mahasiswa matematika, sejak semester 1 kita sudah terbiasa bertemu dengan bilangan ini. Sebenarnya apa itu konstanta e???fungsinya apa?? ?
    25 Agustus 2010, Pak Tanto telah member gambaran mengenai e, yang dipertegas kembali pada tanggal 27 Agustus 2010. Ilustrasi yang beliau berikan ternyata tertulis pula pada situ Wikipedia,
    “Jacob Bernoulli menemukan konstan ini dengan mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk .
    Salah satu contoh adalah account yang dimulai dengan $ 1,00 dan membayar bunga 100% per tahun. Jika bunga tersebut dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilainya adalah $ 2.00, tetapi jika bunga dihitung dan ditambahkan dua kali di tahun ini, $ 1 dikalikan dengan 1,5 dua kali, menghasilkan $ 1,00 × 1,5 ² = $ 2,25. Peracikan hasil kuartalan $ 1,00 × 1,25 4 = $ 2,4414 …, dan gabungan hasil bulanan $ 1,00 × (1,0833 …) 12 = $ 2,613035 ….
    Bernoulli melihat bahwa urutan ini mendekati batas (dengan kekuatan bunga ) untuk peracikan interval lebih kecil dan banyak lagi. Peracikan hasil mingguan $ 2.692597 …, sedangkan hasil peracikan harian $ 2.714567 …, hanya dua sen lebih. Menggunakan n sebagai jumlah interval peracikan, dengan bunga 100% / n di setiap interval, batas untuk n adalah jumlah besar yang kemudian dikenal sebagai e; dengan rumusan, nilai account akan mencapai $ 2,7182818 …. Lebih umum lagi, account yang dimulai dari $ 1, dan hasil (1 + R) dolar di bunga sederhana , akan menghasilkan dolar dengan rumusan e R. “
    Situs ini juga menuliskan mengenai sejarah dari e : konstanta e diterbitkan pertama kali pada tahun 1618 dalam tabel dari sebuah lampiran sebuah karya tentang logaritma oleh John Napier . diperkirakan tabel ditulis oleh William Oughtred . Penemuan e dari konstanta adalah Jacob Bernoulli , yang berusaha untuk menemukan nilai dari ekspresi berikut (yang sebenarnya e):

  • Tanjung
    6 years ago

    Ilmuwan yang sangat berjasa dalam mempelajari hubungan antara gaya dan gerak adalah Isaac Newton, seorang ilmuwan Inggris. Gaya dapat mengubah arah gerak suatu benda, gaya dapat mengubah bentuk suatu benda serta gaya juga dapat mengubah ukuran suatu benda dengan syarat gaya yang kita berikan cukup besar. Gaya menyebabkan percepatan. Arah gaya searah dengan arah percepatan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa gaya adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Ini berarti, gaya dapat digolongkan sebagai sebuah vektor.
    Hukum Newton I yang dapat dituliskan sebagai berikut:
    Jika gaya total yang bekerja pada benda itu sama dengan nol, maka benda yang sedang diam akan tetap diam dan benda yang sedang bergerak lurus dengan kecepatan tetap akan tetap bergerak lurus dengan kecepatan tetap. Secara sederhana Hukum Newton I mengatakan bahwa perecepatan benda nol jika gaya total (gaya resultan) yang bekerja pada benda sama dengan nol. Secara matematis dapat ditulis.
    ∑▒F=0
    Hukum Newton II akan membicarakan keadaan benda jika resultan gaya yang bekerja tidak nol. Bayangkan anda mendorong sebuah benda yang gaya F dilantai yang licin sekali sehingga benda itu bergerak dengan percepatan a. Menurut hasil percobaan, jika gayanya diperbesar 2 kali ternyata percepatannya menjadi. 2 kali lebih besar. Demikian juga jika gaya diperbesar 3 kali percepatannya lebih besar 3 .kali lipat. Dan sini kita simpulkan bahwa percepatan sebanding dengan resultan gaya yang bekerja.
    Sekarang kita lakukan percobaan lain. Kali ini massa bendanya divariasi tetapi gayanya dipertahankan tetap sama. Jika massa benda diperbesar 2 kali, ternyata percepatannya menjadi ½ kali. Demikian juga jika massa benda diperbesar 4 kali, percepatannya menjadi ¼ kali percepatan semula. Dan sini kita bisa simpulkan bahwa percepatan suatu benda berbanding terbalik dengan massa benda itu.
    Kedua kesimpulan yang diperoleh dari eksperimen tersebut dapat diringkaskan dalam Hukum Newton II : Percepatan suatu benda sebanding dengan resultan gaya yang bekerja dan berbanding terbalik dengan massanya, matematik hukum ini ditulis :
    ∑▒F=ma
    Hukum Hooke adalah hukum atau ketentuan mengenai gaya dalam bidang ilmu fisika yang terjadi karena sifat elastisitas dari sebuah pir atau pegas. Besarnya gaya Hooke ini secara proporsional akan berbanding lurus dengan jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya, atau lewat rumus matematis dapat digambarkan sebagai berikut:

    di mana
    F adalah gaya (dalam unit newton)
    k adalah konstante pegas (dalam newton per meter)
    x adalah jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya (dalam unit meter).

    Selanjutnya akan dibahas mengenai gaya yang terjadi pada pegas yang digerakan. Pada permasalahan ini akan dicari besar perpindahan atau jarak perpindahan (x). Sebelumnya kita cari tau lebih lanjut mengenai gaya gesek. Gaya gesek termasuk gaya normal gaya ini muncul jika permukaan dua benda bersentuhan secara lansung secara fisik. Arah gesekan searah dengan permukaan bidang sentuh dan berlawanan dengan arah kecendrungan gerak. Gaya gesek ada dua macam yaitu gaya gesek statis dan gaya gesek statis. Bila bidang sentuh tidak licin, maka gaya kontak mempunyai komponen sepanjang bidang sentuh yang disebut gaya gesekan statik, dan gaya gesekan untuk benda dalam keadaan bergerak disebut gaya gesekan kinetik. Arah gaya gesekan ini selalu sepanjang bidang sentuh dan berusaha melawan gerak relatif bidang sentuhnya.
    Besar gaya gesek statik mempunyai batas maksimum, nilai maksimumnya sebanding dengan gaya normal F_N dan konstanta perbandingan c disebut koefisien gesekan statik fstatis =cF_N.
    Gaya gesek secara umum dapat dituliskan F_gesek=cF_N⟺F_gesek/F_N =c⟺F_gesek/(v ⃗⁄|v| )=c sehingga F_gesek=c v ⃗⁄|v| =c dx/dt
    Gaya yang bekerja pada pegas adalah sebagai berikut
    ∑▒F=ma
    -F_gesak+F_hooke=m (d^2 x)/dt
    -F_gesak+(-kx)=m (d^2 x)/dt
    -c dx/dt-kx=m (d^2 x)/dt
    m (d^2 x)/dt+c dx/dt+kx=0
    Misal r=d/dt
    mr^2 x+crx+kx=0
    (mr^2+cr+k)x=0
    Persamaan karakteristik mr^2+cr+k=0
    Akar persamaan
    r_1,2=(-c±√(c^2-4mk))/2m
    kasus c^2-4mk>0
    misal akar-akarnya adalah
    r_1=(-c+√(c^2-4mk))/2m , r_2=(-c+√(c^2-4mk))/2m

    x(t)=c_1 e^((-c+√(c^2-4mk))/2m t)+c_2 e^((-c-√(c^2-4mk))/2m t)
    kasus c^2-4mk=0
    misal akar-akarnya adalah
    r=(-c)/2m
    x(t)=(a+bt) e^((-c)/2m t)

    kasus c^2-4mk<0
    misal akar-akarnya adalah
    r_1=(-c+√(c^2-4mk))/2m=(-c+l√i)/2m , r_2=(-c+√(c^2-4mk))/2m=(-c-l√i)/2m
    x(t)=(c_1 cos⁡lt+c_2 sin⁡lt ) e^((-c)/2m t)

  • Ika Susanti
    6 years ago

    MODEL SISTEM PEGAS MASSA

    Hukum Newton 2 menjelaskan bahwa ∑▒〖F=ma〗. Dimana m adalah massa benda dengan satuan kg dan a adalah percepatan dengan satuan m/s^2 . Gaya dalam kehidupan sehari – hari ada berbagai macam, diantaranya gaya berat, gaya gesek, gaya pegas , dan masih banyak gaya lainnya. Akan tetapi dalam hal ini tidak akan dibahas semua gaya – gaya tersebut.
    Pegas adalah suatu alat yang biasanya sering digunakan pada komponen mobil atau motor. Pegas memiliki fungsi menyerap kejut dari jalan dan getaran roda agar tidak diteruskan ke bodi kendaraan secara langsung. Fungsi dari pegas ini dapat berjalan dengan baik karena dipengaruhi oleh konstanta pegas. Dimana konstanta tiap jenis pegas itu berbeda. Biasanya disimblkan dengan k. Menurut Hukum Hooke Gaya yang dihasilkan oleh suatu pegas adalah perkalian antara konstanta pegas (k) dengan perpindahan benda (x). Sehingga diperoleh
    F=-kx. Jika diperlukan gaya yang besar maka konstanta pegas juga haruslah besar, begitu sebaliknya. Dalam kehidupan sehari – hari pegas digunakan untuk menjaga keseimbangan suatu benda, misalnya shock bekker pada motor atau mobil, dan lain-lain.
    Selanjutnya, gaya yang ada dalam kehidupan sehari – hari adalah gaya gesek. Gaya gesek adalah suatu gaya yang digunakan untuk meredam suatu benda sehingga mencegah benda tersebut supaya tidak jatuh atau tergelincir (meredam). Besarnya gaya gesek dipengaruhi oleh koefisien gesekan dan besarnya gaya yang tegak lurus dengan bidang yaitu gaya normal. Gesekan yang dihasilkan bisa statis maupun kinetik. Statis jika benda tersebut diam, sebaliknya jika kinetik maka benda tersebut bergerak. Benda diasumsikan bergerak secara linear, dan dipengaruhi oleh kecepatan dan waktu yang dibutuhkan. Maka bentuk umum untuk mencari gaya gesek tersebut adalah F=-μ F_N , sehingga μ=F/F_N , dengan nilai μ adalah [0,1]. Karena benda bergerak secara linear maka gaya gesek dipengaruhi oleh kecepatan benda tersebut. Sehingga diperoleh F=-μ dx/dt. Ketika dx/dt>0 maka Gaya gesek bernilai negative, sebaliknya jika dx/dt<0 maka gaya geseknya bernilai positif.
    Jika dikembalikan denga persamaan Hukum Newton 2, jumlah gaya yang bekerja pada suatu benda yang bergerak scara linear adalah sama dengan perkalian massa benda dengan percepatannya. Dengan a adalah turunan kedua dari jarak, sehingga diperoleh,
    ∑▒〖F=ma〗
    F_gesek+F_pegas=ma
    -μ dx/dt-kx=m (d^2 x)/〖dt〗^2
    m (d^2 x)/〖dt〗^2 +μ dx/dt+kx=0.
    Persamaa Diferensial linear orde 2 dengan koefisien konstan. Dengan mengganti μ menjadi c, maka persamaan tersebut menjadi m (d^2 x)/〖dt〗^2 +c dx/dt+kx=0. Kemudian dengan subtitusi nilai e^rt pada persamaan tersebut didapatkan bentuk
    mr^2+cr+k=0,
    Yang kemudian disebut persamaan karakteristik orde 2. Selanjutnya dicari akar karakteristiknya dengan rumus abc yaitu
    r_1,2=(-c±√(c^2-4mk))/2m

    Dengan c adalah koefisien gesekan dengan nilai [0,1], m adalah massa benda, k adalah konstanta pegas.

  • Ririn Setiyowati
    6 years ago

    Pak, untuk rangkuman materi kuliah sudah saya kirim ke email pak tanto. Oya pak, ide tentang perpindahan komiditi yang menggunakan matriks transisi saya belum begitu jelas. Mhon di lain pertemuan dijelaskan lagi ya pa. Terima kasih

  • Tanjung
    6 years ago

    Akar-akar karekteristik dari persamaan md2x/dt+cdx/dt+kx=0
    Misal r=d/dt sehingga persamaan menjadi (mr2+cr+k)x=0
    mr2+cr+k=0
    akar-akar karekteristik r1.2=(-c±√(c^2-4mk))/2m
    under damped bila c24mk
    critical damped bila c2=4mk
    c merupakan konstanta gesek dengan nilai 0<c<1 sehingga 0<c2<c<1
    m merupakan massa dari benda, dalam kehidupan nyata maka nilainya akan cenderung besar sehingga kemungkinan yang terjadi dalam kehidupan nyata adalah c2<4mk, yang berarti akar-akar karekteristik merupakan bilangan imajiner.

    Suatu kejadian dimana kejadian ke-n dipengaruhi oleh kejadian satu periode sebelumnya yaitu ke-(n-1) maka kasus tersebut dapat dijelaskan menggunakan rantai markov. Probabilitas kejadian periode sekarang dapat digunakan untuk memperoleh probabilitas kejadian selanjutnya. Apabila probabilitas kejadian saat ini sama dengan probabilitas kejadian masa yang akan datang, maka proses markov telah mencapai stedy state. Probabilitas kejadian-kejadian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matrik yang disebut matrik transisis. Rantai markov dapat digunakan untuk menjelaskan berbagai fenomena dalam dunia nyata. Howard M. Taylor dan Samuel Kalin (19 93) menjelaskan bahwa rantai markov dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena ketersediaan stock barang untuk setiap periode waktu.
    Rantai markov diharapkan mampu digunakan untuk menjelaskan kejadian dibidang pertanian. Rantai markov ini diharapkan mampu memberi gambaran resiko dan keuntungan bagi petani untuk beralih dari kebiasaan turun menurun yang dirasa merugikan para petani. Resiko kerugian dari peralihan petani menanam tanaman A ke B pada satu periode waktu tanam, diharapkan dapat merubah kebiasaan petani. Diharapkan model ini mampu menjelaskan keuntungan yang akan diperoleh petani dengan meninggalkan kebiasaan lamanya, sehingga pertanian Indonesia dapat diperbaiki.

    Pak Tanto, saya masih belum mengerti cara untuk memperoleh matrik transisi. Variabel yang mempengaruhi pemilihan tanaman yang akan ditanam sangatlah banyak, apakah nanti matrik transisinya hanya satu atau lebih?saya harap Pak Tanto berkenan menjelaskannya kembali materi ini dan menunjukan contoh matrik transisi para nelayan yang telah dijelaskan pada pertemuan yang lalu.

  • singkat tapi mencerahkan.. makasih pak

  • adi tri ratmanto
    6 years ago

    Luar biasa pak!!
    Lalu bagaimana saran dari bapak agar kita bisa peka dengan apa yang ada di sekitar kita?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *


*

Skip to toolbar